Упр.15.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: 1) $$y=\frac{2}{3-\cos x}$$; 2) $$y=\frac{1}{\sin x+1}$$.

1) Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

$$2 \le 3-\cos x \le 4.$$

Поскольку функция $$y=\frac{2}{3-\cos x}$$ положительна и знаменатель принимает значения от $$2$$ до $$4,$$ получаем

$$\frac{2}{4} \le \frac{2}{3-\cos x} \le \frac{2}{2},$$

то есть

$$\frac12 \le y \le 1.$$

Ответ: $$E(y)=\left[\frac12;1\right].$$

2) Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

$$0 \le \sin x+1 \le 2.$$

Знаменатель может принимать значение $$0,$$ поэтому рассмотрим допустимые значения: $$\sin x+1 \in (0;2].$$ Тогда

$$\frac{1}{2} \le \frac{1}{\sin x+1} < +\infty.$$

Минимум достигается при $$\sin x=1,$$ тогда $$y=\frac12.$$ При $$\sin x+1 \to 0^+$$ значение функции неограниченно возрастает.

Ответ: $$E(y)=\left[\frac12;+\infty\right).$$