Упр.15.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений выражения: 1) $$\frac{1}{2+\sin x}$$; 2) $$\frac{1}{1-\cos x}$$.

1) Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

$$1 \le 2+\sin x \le 3.$$

Все значения выражения $$\frac{1}{2+\sin x}$$ положительны, поэтому при переходе к обратным величинам знаки неравенств меняются:

$$\frac{1}{3} \le \frac{1}{2+\sin x} \le 1.$$

Следовательно, область значений:

$$\left[\frac{1}{3};\,1\right]$$

2) Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

$$-1 \le -\cos x \le 1,$$

откуда

$$0 \le 1-\cos x \le 2.$$

При этом $$1-\cos x \ne 0$$ только при $$\cos x=1,$$ а тогда выражение не определено. Значит,

$$0<1-\cos x\le 2.$$

Переходим к обратным величинам:

$$\frac{1}{2}\le \frac{1}{1-\cos x}<+\infty.$$

Следовательно, область значений:

$$\left[\frac{1}{2};\,+\infty\right)$$