Упр.15.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos x=a+3; 3) cos x=a^2-1; 5) cos x=a^2-5a+5;
2) sin x=a^2+1; 4) sin x=a^2-a-1; 6) tg x=(a+2)/(a-2)?

1. $$\cos x=a+3$$

   Для существования решений нужно, чтобы

   $$-1\le a+3\le 1.$$

   Тогда

   $$-4\le a\le -2.$$

2. $$\sin x=a^2+1$$

   Для существования решений нужно, чтобы

   $$-1\le a^2+1\le 1.$$

   Из неравенства $$a^2+1\le 1$$ получаем

   $$a^2\le 0,$$

   значит, $$a=0.$$

3. $$\cos x=a^2-1$$

   Для существования решений нужно, чтобы

   $$-1\le a^2-1\le 1.$$

   Отсюда

   $$0\le a^2\le 2,$$

   то есть

   $$a^2\le 2.$$

   Следовательно,

   $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$

4. $$\sin x=a^2-a-1$$

   Для существования решений нужно, чтобы

   $$-1\le a^2-a-1\le 1.$$

   Решим по частям:

   $$a^2-a-1\ge -1 \;\Rightarrow\; a^2-a\ge 0 \;\Rightarrow\; a(a-1)\ge 0,$$

   откуда $$a\le 0$$ или $$a\ge 1.$$

   Далее

   $$a^2-a-1\le 1 \;\Rightarrow\; a^2-a-2\le 0 \;\Rightarrow\; (a+1)(a-2)\le 0,$$

   откуда $$-1\le a\le 2.$$

   Пересечение условий:

   $$a\in[-1;0]\cup[1;2].$$

5. $$\cos x=a^2-5a+5$$

   Для существования решений нужно, чтобы

   $$-1\le a^2-5a+5\le 1.$$

   Решим по частям:

   $$a^2-5a+5\ge -1 \;\Rightarrow\; a^2-5a+6\ge 0 \;\Rightarrow\; (a-2)(a-3)\ge 0,$$

   откуда $$a\le 2$$ или $$a\ge 3.$$

   И

   $$a^2-5a+5\le 1 \;\Rightarrow\; a^2-5a+4\le 0 \;\Rightarrow\; (a-1)(a-4)\le 0,$$

   откуда $$1\le a\le 4.$$

   Пересечение условий:

   $$a\in[1;2]\cup[3;4].$$

6. $$\tg x=\frac{a+2}{a-2}$$

   Тангенс может принимать любые действительные значения, поэтому нужно лишь, чтобы дробь была определена:

   $$a-2\ne 0.$$

   Значит,

   $$a\ne 2.$$

Ответ

1) $$a\in[-4;-2]$$; 2) $$a=0$$; 3) $$a\in[-\sqrt2;\sqrt2]$$; 4) $$a\in[-1;0]\cup[1;2]$$; 5) $$a\in[1;2]\cup[3;4]$$; 6) $$a\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$