Упр.14.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $$P_0(1; 0)$$ на углы: 1) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$; 2) $$-\frac{\pi}{4}+\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$; 3) $$\frac{\pi k}{2}$$, $$k\in\mathbb{Z}$$.

При повороте точки $$P_0(1;0)$$ на угол $$\alpha$$ на единичной окружности получаем точку с координатами $$\bigl(\cos \alpha;\sin \alpha\bigr)$$.

1. $$\alpha=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Так как добавление $$2\pi k$$ не меняет положение точки, достаточно взять угол $$\frac{3\pi}{4}$$:

   $$\cos \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Следовательно, координаты точки:

   $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

2. $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Возможны два различных положения точки:

   • при чётном $$k$$: $$\alpha=-\frac{\pi}{4}$$, тогда $$\left(\cos \alpha;\sin \alpha\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$$
   • при нечётном $$k$$: $$\alpha=\frac{3\pi}{4}$$, тогда $$\left(\cos \alpha;\sin \alpha\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

   Значит, получаем точки:

   $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

3. $$\alpha=\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Здесь возможны четыре различных угла:

   • $$\alpha=0 \Rightarrow (1;0);$$
   • $$\alpha=\frac{\pi}{2} \Rightarrow (0;1);$$
   • $$\alpha=\pi \Rightarrow (-1;0);$$
   • $$\alpha=\frac{3\pi}{2} \Rightarrow (0;-1).$$

   Следовательно, искомые точки:

   $$(1;0),\ (0;1),\ (-1;0),\ (0;-1).$$

Ответ

1) $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$$ 2) $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$$ 3) $$(1;0),\ (0;1),\ (-1;0),\ (0;-1).$$