Упр.14.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $$P_0(1; 0)$$ на углы: 1) $$\frac{\pi}{6}+2\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$; 3) $$\frac{\pi}{2}+\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$; 5) $$2\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$; 2) $$-\frac{\pi}{2}+4\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$; 4) $$\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$; 6) $$\frac{\pi k}{3}$$, $$k\in\mathbb{Z}$$.

1) $$\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Это угол $$30^\circ$$. На единичной окружности ему соответствует точка

$$\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right).$$

2) $$-\frac{\pi}{2}+4\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Это угол $$-90^\circ$$, значит получаем точку

$$\left(0;-1\right).$$

3) $$\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

При чётных $$k$$ имеем угол $$\frac{\pi}{2}$$, при нечётных — угол $$-\frac{\pi}{2}$$. Поэтому точки:

$$\left(0;1\right),\ \left(0;-1\right).$$

4) $$\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

При чётных $$k$$ получаем угол $$0^\circ$$, при нечётных — $$180^\circ$$. Соответствующие точки:

$$\left(1;0\right),\ \left(-1;0\right).$$

5) $$2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Это полный оборот, поэтому всегда получаем точку

$$\left(1;0\right).$$

6) $$\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$

Возможные значения угла кратны $$60^\circ$$, поэтому на единичной окружности получаем точки:

$$\left(1;0\right),\ \left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(-1;0\right),\ \left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right);$$ 2) $$\left(0;-1\right);$$ 3) $$\left(0;1\right),\ \left(0;-1\right);$$ 4) $$\left(1;0\right),\ \left(-1;0\right);$$ 5) $$\left(1;0\right);$$ 6) $$\left(1;0\right),\ \left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(-1;0\right),\ \left(-\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$