Упр.13.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите систему неравенств:
   1) $$\begin{cases}2x^2+13x-7\leq 0,\\15-3x\leq 0;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}x^2+6x-40<0,\\x^2+3x-18\geq 0.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 2x^2+13x-7 \le 0,\\ 15-3x \le 0. \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$2x^2+13x-7 \le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=13^2-4\cdot 2\cdot(-7)=169+56=225,$$

$$x_{1,2}=\frac{-13\pm 15}{2\cdot 2}.$$

Тогда

$$x_1=-7,\qquad x_2=\frac12.$$

Следовательно,

$$2x^2+13x-7=(2x-1)(x+7),$$

и потому

$$-7 \le x \le \frac12.$$

Решим второе неравенство:

$$15-3x \le 0 \;\Rightarrow\; -3x \le -15 \;\Rightarrow\; x \ge 5.$$

Пересечение множеств решений:

$$[-7;\tfrac12]\cap [5;+\infty)=\varnothing.$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+6x-40<0,\\ x^2+3x-18\ge 0. \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$x^2+6x-40<0.$$

Найдём корни:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-40)=36+160=196,$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 14}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-10,\qquad x_2=4.$$

Значит,

$$-10<x<4.$$

Решим второе неравенство:

$$x^2+3x-18\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-18)=9+72=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 9}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-6,\qquad x_2=3.$$

Следовательно,

$$x\le -6 \;\text{или}\; x\ge 3.$$

Пересекаем с промежутком $$(-10;4)$$:

$$(-10;4)\cap\bigl((-\infty;-6]\cup[3;+\infty)\bigr)=(-10;-6]\cup[3;4).$$

Ответ

1) $$\varnothing$$; 2) $$(-10;-6]\cup[3;4)$$.