Упр.13.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1) $$(x^2+6x+5)(x^2-3x)>0$$;
3) $$\frac{x^2+5x}{x-1}\geq\frac{14}{x-1}$$;
2) $$\frac{x^2+x-12}{x^2-64}\geq0$$;
4) $$\frac{x^2-4x}{x-2}\leq3$$.

1) $$\left(x^2+6x+5\right)\left(x^2-3x\right)>0$$

Разложим на множители:

$$x^2+6x+5=(x+1)(x+5), \qquad x^2-3x=x(x-3).$$

Тогда

$$(x+1)(x+5)x(x-3)>0.$$

Нули выражения: $$x=-5,\,-1,\,0,\,3.$$

Знак произведения положителен на промежутках

$$(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty).$$

2) $$\frac{x^2+x-12}{x^2-64}\ge 0$$

Разложим на множители:

$$x^2+x-12=(x+4)(x-3), \qquad x^2-64=(x-8)(x+8).$$

Получаем

$$\frac{(x+4)(x-3)}{(x-8)(x+8)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-8,\,-4,\,3,\,8.$$

С учётом знаков дроби:

$$x\in(-\infty;-8)\cup[-4;3]\cup(8;+\infty).$$

3) $$\frac{x^2+5x}{x-1}\ge \frac{14}{x-1}$$

Перенесём всё в одну дробь:

$$\frac{x^2+5x-14}{x-1}\ge 0.$$

Числитель раскладывается так:

$$x^2+5x-14=(x+7)(x-2).$$

Тогда

$$\frac{(x+7)(x-2)}{x-1}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-7,\,1,\,2.$$

Ответ:

$$x\in[-7;1)\cup[2;+\infty).$$

4) $$\frac{x^2-4x}{x-2}\le 3$$

Перенесём $$3$$ в левую часть:

$$\frac{x^2-4x-3(x-2)}{x-2}\le 0.$$

Упростим числитель:

$$\frac{x^2-7x+6}{x-2}\le 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6).$$

Получаем

$$\frac{(x-1)(x-6)}{x-2}\le 0.$$

Критические точки: $$x=1,\,2,\,6.$$

Ответ:

$$x\in(-\infty;1]\cup(2;6].$$