Упр.13.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^2+6x+5)(x^2-3x) > 0; 3) (x^2+5x)/(x-1) > =14/(x-1);
2) (x^2+x-12)/(x^2-64) > =0; 4) (x^2-4x)/(x-2) < =3.

1. $$\left(x^2+6x+5\right)\left(x^2-3x\right)>0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+6x+5=(x+5)(x+1), \qquad x^2-3x=x(x-3).$$

   Тогда

   $$\left(x+5\right)\left(x+1\right)x\left(x-3\right)>0.$$

   Нули выражения: $$x=-5,\,-1,\,0,\,3.$$

   По знакам на промежутках получаем:

   $$x\in(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty).$$

2. $$\frac{x^2+x-12}{x^2-64}\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+x-12=(x+4)(x-3), \qquad x^2-64=(x-8)(x+8).$$

   Тогда

   $$\frac{(x+4)(x-3)}{(x-8)(x+8)}\ge 0.$$

   Область определения: $$x\ne -8,\; x\ne 8.$$

   Критические точки: $$-8,\,-4,\,3,\,8.$$

   По знакам на промежутках:

   $$x\in(-\infty;-8)\cup[-4;3]\cup(8;+\infty).$$

3. $$\frac{x^2+5x}{x-1}\ge \frac{14}{x-1}$$

   Перенесём всё в одну дробь:

   $$\frac{x^2+5x-14}{x-1}\ge 0.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2+5x-14=(x+7)(x-2).$$

   Получаем

   $$\frac{(x+7)(x-2)}{x-1}\ge 0.$$

   Область определения: $$x\ne 1.$$

   Критические точки: $$-7,\;1,\;2.$$

   По знакам на промежутках:

   $$x\in[-7;1)\cup[2;+\infty).$$

4. $$\frac{x^2-4x}{x-2}\le 3$$

   Перенесём $3$ в левую часть:

   $$\frac{x^2-4x-3(x-2)}{x-2}\le 0.$$

   Упростим числитель:

   $$\frac{x^2-7x+6}{x-2}\le 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-7x+6=(x-1)(x-6).$$

   Тогда

   $$\frac{(x-1)(x-6)}{x-2}\le 0.$$

   Область определения: $$x\ne 2.$$

   Критические точки: $$1,\;2,\;6.$$

   По знакам на промежутках:

   $$x\in(-\infty;1]\cup(2;6].$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty)$$

2) $$x\in(-\infty;-8)\cup[-4;3]\cup(8;+\infty)$$

3) $$x\in[-7;1)\cup[2;+\infty)$$

4) $$x\in(-\infty;1]\cup(2;6]$$