Упр.13.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) корень из (x+2) > x; 3) корень из (x^2-5x-24) > =x+2;
2) корень из (2x+14) > x+3; 4) корень из (x^2+4x-5) > x-3.

Подробный ответ

$$\sqrt{x+2}>x$$
Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть неотрицательной:
$$x+2>x^2$$
$$x^2-x-2<0$$
$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$
Тогда
$$-1<x<2$$
Область допустимых значений:
$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2$$
При $x<0$ неравенство выполняется автоматически, поэтому с учётом ОДЗ получаем:
$$x\in[-2;2)$$
$$\sqrt{2x+14}>x+3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+14>x^2+6x+9$$
$$x^2+4x-5<0$$
$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$$
Тогда
$$-5<x<1$$
ОДЗ:
$$2x+14\ge 0,\quad x\ge -7$$
При $x\le -3$ неравенство выполняется автоматически, поэтому с учётом ОДЗ:
$$x\in[-7;1)$$
$$\sqrt{x^2-5x-24}\ge x+2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-5x-24\ge x^2+4x+4$$
$$9x\le -28$$
$$x\le -3\frac{1}{9}$$
ОДЗ:
$$x^2-5x-24\ge 0$$
$$x^2-5x-24=(x+3)(x-8)$$
$$x\le -3\ \text{или}\ x\ge 8$$
Так как правая часть должна быть не больше нуля, то
$$x+2\le 0,\quad x\le -2$$
Пересечение условий даёт:
$$x\in(-\infty;-3]$$
$$\sqrt{x^2+4x-5}>x-3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+4x-5>x^2-6x+9$$
$$10x>14$$
$$x>1{,}4$$
ОДЗ:
$$x^2+4x-5\ge 0$$
$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$$
$$x\le -5\ \text{или}\ x\ge 1$$
Так как правая часть должна быть неотрицательной, то
$$x-3\le 0,\quad x\le 3$$
Пересечение условий:
$$x\in(-\infty;-5]\cup[1;+\infty)$$