Упр.13.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) корень из (2-x) > x; 4) корень из (x^2-2x) > =4-x;
2) корень из (x+7) > =x+1; 5) корень из (x^2+x-2) > x;
3) корень из (x^2-1) > x; 6) корень из (-x^2+6x-5) > 8-2x.
$$\sqrt{2-x}>x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2-x>x^2$$
$$x^2+x-2<0$$
$$ (x+2)(x-1)<0 $$
Отсюда $$-2<x<1$$.
Проверим область допустимых значений: $$2-x\ge 0$$, значит $$x\le 2$$.
При $$x<0$$ неравенство выполняется автоматически, а при $$0\le x<1$$ тоже верно. Поэтому
$$x\in(-\infty;1).$$
$$\sqrt{x+7}\ge x+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+7\ge x^2+2x+1$$
$$x^2+x-6\le 0$$
$$ (x+3)(x-2)\le 0 $$
Отсюда $$-3\le x\le 2$$.
ОДЗ: $$x+7\ge 0$$, то есть $$x\ge -7$$.
Кроме того, правая часть должна быть неотрицательной: $$x+1\le \sqrt{x+7}$$, и найденный промежуток этому удовлетворяет.
Итак,
$$x\in[-3;2].$$
$$\sqrt{x^2-1}>x$$
Если $$x<0$$, то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $$x<0$$, для которых выражение имеет смысл.
ОДЗ: $$x^2-1\ge 0$$, то есть
$$ (x+1)(x-1)\ge 0 $$
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$
С учётом случая $$x<0$$ получаем
$$x\in(-\infty;-1].$$
$$\sqrt{x^2-2x}\ge 4-x$$
Если $$4-x\le 0$$, то неравенство верно при всех $$x$$ из ОДЗ. Тогда
$$x\ge 4.$$
Если $$4-x>0$$, можно возвести обе части в квадрат:
$$x^2-2x\ge (4-x)^2$$
$$x^2-2x\ge x^2-8x+16$$
$$6x\ge 16$$
$$x\ge \frac{8}{3}.$$
ОДЗ: $$x^2-2x\ge 0$$, то есть $$x(x-2)\ge 0$$, значит $$x\le 0$$ или $$x\ge 2$$.
Итак,
$$x\in\left[\frac{8}{3};+\infty\right).$$
$$\sqrt{x^2+x-2}>x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+x-2>x^2$$
$$x>2.$$
ОДЗ: $$x^2+x-2\ge 0$$, то есть
$$ (x+2)(x-1)\ge 0 $$
$$x\le -2 \text{ или } x\ge 1.$$
С учётом условия $$x>2$$ получаем
$$x\in(2;+\infty).$$
$$\sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x$$
Если $$8-2x\le 0$$, то неравенство выполняется при всех $$x$$ из ОДЗ. Тогда
$$x\ge 4.$$
Если $$8-2x>0$$, возведём обе части в квадрат:
$$-x^2+6x-5>(8-2x)^2$$
$$-x^2+6x-5>64-32x+4x^2$$
$$5x^2-38x+69<0$$
$$ (x-3)(x-4{,}6)<0 $$
$$3<x<4{,}6.$$
ОДЗ: $$-x^2+6x-5\ge 0$$, то есть
$$x^2-6x+5\le 0$$
$$ (x-1)(x-5)\le 0 $$
$$1\le x\le 5.$$
Пересечение с условием $$3<x<4{,}6$$ даёт
$$x\in(3;5].$$
Ответ
1) $$x\in(-\infty;1)$$; 2) $$x\in[-3;2]$$; 3) $$x\in(-\infty;-1]$$; 4) $$x\in\left[\frac{8}{3};+\infty\right)$$; 5) $$x\in(2;+\infty)$$; 6) $$x\in(3;5]$$.
