Упр.13.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- 1) $$\sqrt{2-x}>x$$; 4) $$\sqrt{x^2-2x}\geq 4-x$$; 2) $$\sqrt{x+7}\geq x+1$$; 5) $$\sqrt{x^2+x-2}>x$$; 3) $$\sqrt{x^2-1}>x$$; 6) $$\sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x$$.
1) $$\sqrt{2-x}>x$$
Если $$x<0,$$ то неравенство выполняется автоматически, так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. При $$x\ge 0$$ можно возвести обе части в квадрат:
$$2-x>x^2$$
$$x^2+x-2<0$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1$$
$$x\in(-2;1)$$
С учётом условия $$x<0$$ получаем:
$$x\in(-\infty;1).$$
2) $$\sqrt{x+7}\ge x+1$$
Если $$x+1\le 0,$$ то неравенство выполняется при $$x\le -1.$$ При $$x>-1$$ возводим обе части в квадрат:
$$x+7\ge (x+1)^2$$
$$x^2+x-6\le 0$$
$$D=25,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=2$$
$$x\in[-3;2]$$
С учётом области определения $$x\ge -7$$ и условия $$x\le -1$$ получаем:
$$x\in[-7;2].$$
3) $$\sqrt{x^2-1}>x$$
При $$x<0$$ неравенство верно, если выражение под корнем определено:
$$x^2-1\ge 0$$
$$x\le -1 \ \text{или}\ x\ge 1$$
Отсюда при $$x<0$$ получаем $$x\le -1.$$
При $$x\ge 0$$ после возведения в квадрат имеем:
$$x^2-1>x^2$$
$$-1>0,$$
что невозможно.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-1].$$
4) $$\sqrt{x^2-2x}\ge 4-x$$
Если $$4-x\le 0,$$ то неравенство выполняется при $$x\ge 4.$$
При $$x<4$$ возводим обе части в квадрат:
$$x^2-2x\ge (4-x)^2$$
$$x^2-2x\ge 16-8x+x^2$$
$$6x\ge 16$$
$$x\ge \frac{8}{3}$$
С учётом области определения $$x^2-2x\ge 0,$$ то есть $$x\le 0$$ или $$x\ge 2,$$ получаем:
$$x\in\left[\frac{8}{3};+\infty\right).$$
5) $$\sqrt{x^2+x-2}>x$$
Если $$x<0,$$ то неравенство выполняется при условии существования корня:
$$x^2+x-2\ge 0$$
$$(x+2)(x-1)\ge 0$$
$$x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 1$$
С учётом $$x<0$$ получаем $$x\le -2.$$
При $$x\ge 0$$ возводим обе части в квадрат:
$$x^2+x-2>x^2$$
$$x>2$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-2]\cup(2;+\infty).$$
6) $$\sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x$$
Если $$8-2x\le 0,$$ то неравенство выполняется при $$x\ge 4.$$
При $$x<4$$ возводим обе части в квадрат:
$$-x^2+6x-5>(8-2x)^2$$
$$-x^2+6x-5>64-32x+4x^2$$
$$5x^2-38x+69<0$$
$$D=64,$$
$$x_1=3,\quad x_2=\frac{23}{5}$$
$$x\in\left(3;\frac{23}{5}\right)$$
С учётом области определения
$$-x^2+6x-5\ge 0$$
$$x^2-6x+5\le 0$$
$$(x-1)(x-5)\le 0$$
$$x\in[1;5]$$
получаем:
$$x\in(3;5].$$
Ответ: 1) $$(-\infty;1)$$; 2) $$[-7;2]$$; 3) $$(-\infty;-1]$$; 4) $$\left[\frac{8}{3};+\infty\right)$$; 5) $$(-\infty;-2]\cup(2;+\infty)$$; 6) $$(3;5]$$.
