Упр.13.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из (9x-20) < x; 3) 2корень из (4-x^2) < =x+4; 2) корень из (x+61) < x+5; 4) корень из (x^2+4x-5) < x-3.

1. $$\sqrt{9x-20}Возведём обе части в квадрат:

   $$9x-20<x^2$$
   $$x^2-9x+20>0$$
   $$ (x-4)(x-5)>0 $$

   Отсюда:

   $$x<4 \text{ или } x>5$$

   Учитываем область определения и знак правой части:

   $$9x-20\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{20}{9}, \qquad x>0$$

   Тогда

   $$x\in\left[\frac{20}{9};4\right)\cup(5;+\infty)$$

2. $$\sqrt{x+61}<x+5$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x+61<x^2+10x+25$$
   $$x^2+9x-36>0$$
   $$ (x+12)(x-3)>0 $$

   Отсюда:

   $$x<-12 \text{ или } x>3$$

   Учитываем область определения и знак правой части:

   $$x+61\ge 0 \Rightarrow x\ge -61, \qquad x+5>0 \Rightarrow x>-5$$

   Подходит только

   $$x\in(3;+\infty)$$

3. $$2\sqrt{4-x^2}\le x+4$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$4(4-x^2)\le (x+4)^2$$
   $$16-4x^2\le x^2+8x+16$$
   $$5x^2+8x\ge 0$$
   $$x(5x+8)\ge 0$$
   $$x\le -\frac{8}{5} \text{ или } x\ge 0$$

   Теперь учтём область определения:

   $$4-x^2\ge 0 \Rightarrow -2\le x\le 2$$

   И условие для правой части:

   $$x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -4$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in\left[-2;-\frac{8}{5}\right]\cup[0;2]$$

4. $$\sqrt{x^2+4x-5}<x-3$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2+4x-5<(x-3)^2$$
   $$x^2+4x-5<x^2-6x+9$$
   $$10x<14$$
   $$x<\frac{7}{5}$$

   Но для неравенства с корнем нужно ещё:

   $$x-3>0 \Rightarrow x>3$$

   Совместно это невозможно, значит решений нет.

Ответ

1) $$x\in\left[\frac{20}{9};4\right)\cup(5;+\infty)$$
2) $$x\in(3;+\infty)$$
3) $$x\in\left[-2;-\frac{8}{5}\right]\cup[0;2]$$
4) $$\varnothing$$