Упр.13.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$x>\sqrt{24-5x}$$;
4) $$3-x>3\sqrt{1-x^2}$$;
2) $$\sqrt{2x+7}\leq x+2$$;
5) $$\sqrt{x^2+3x+3}<2x+1$$;
3) $$\sqrt{3x-x^2}<4-x$$;
6) $$\sqrt{7x-x^2-6}<2x+3$$.
1) $$x>\sqrt{24-5x}$$
Так как правая часть неотрицательна, то должно быть $$24-5x\ge 0,$$ то есть $$x\le \frac{24}{5}.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2>24-5x$$
$$x^2+5x-24>0$$
$$(x+8)(x-3)>0$$
Отсюда $$x<-8$$ или $$x>3.$$
С учётом условия $$x>0$$ и $$x\le \frac{24}{5}$$ получаем:
$$x\in \left(3;\frac{24}{5}\right].$$
2) $$\sqrt{2x+7}\le x+2$$
Область определения и условие неотрицательности правой части:
$$2x+7\ge 0,\qquad x+2\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+7\le (x+2)^2$$
$$2x+7\le x^2+4x+4$$
$$x^2+2x-3\ge 0$$
$$(x+3)(x-1)\ge 0$$
Отсюда $$x\le -3$$ или $$x\ge 1.$$
С учётом $$x\ge -2$$ получаем:
$$x\in [1;+\infty).$$
3) $$\sqrt{3x-x^2}<4-x$$
Так как левая часть неотрицательна, нужно $$4-x>0,$$ то есть $$x<4.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x-x^2<(4-x)^2$$
$$3x-x^2<16-8x+x^2$$
$$2x^2-11x+16>0$$
Дискриминант:
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 16=121-128=-7<0.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то $$2x^2-11x+16>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$
Остаётся учесть область определения:
$$3x-x^2\ge 0$$
$$x(3-x)\ge 0$$
$$x\in [0;3].$$
Следовательно,
$$x\in [0;3].$$
4) $$3-x>3\sqrt{1-x^2}$$
Область определения:
$$1-x^2\ge 0,\qquad -1\le x\le 1.$$
Так как правая часть неотрицательна, то должно быть $$3-x>0,$$ что на найденной области выполняется.
Возведём обе части в квадрат:
$$(3-x)^2>9(1-x^2)$$
$$9-6x+x^2>9-9x^2$$
$$10x^2-6x>0$$
$$2x(5x-3)>0$$
Отсюда $$x<0$$ или $$x>\frac{3}{5}.$$
Пересекаем с $$[-1;1]$$:
$$x\in [-1;0)\cup \left(\frac{3}{5};1\right].$$
5) $$\sqrt{x^2+3x+3}<2x+1$$
Необходимо, чтобы $$2x+1>0,$$ то есть $$x>-\frac12.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+3x+3<(2x+1)^2$$
$$x^2+3x+3<4x^2+4x+1$$
$$3x^2+x-2>0$$
$$(3x-2)(x+1)>0$$
Отсюда $$x<-1$$ или $$x>\frac23.$$
С учётом условия $$x>-\frac12$$ получаем:
$$x\in \left(\frac23;+\infty\right).$$
6) $$\sqrt{7x-x^2-6}<2x+3$$
Необходимо, чтобы $$2x+3>0,$$ то есть $$x>-\frac32.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$7x-x^2-6<(2x+3)^2$$
$$7x-x^2-6<4x^2+12x+9$$
$$5x^2+5x+15>0$$
$$x^2+x+3>0.$$
У этого квадратного трёхчлена дискриминант
$$D=1-12=-11<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит $$x^2+x+3>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$
Остаётся учесть область определения:
$$7x-x^2-6\ge 0$$
$$x^2-7x+6\le 0$$
$$(x-1)(x-6)\le 0$$
$$x\in [1;6].$$
Следовательно,
$$x\in [1;6].$$
Ответ
1) $$x\in \left(3;\frac{24}{5}\right]$$; 2) $$x\in [1;+\infty)$$; 3) $$x\in [0;3]$$; 4) $$x\in [-1;0)\cup \left(\frac35;1\right]$$; 5) $$x\in \left(\frac23;+\infty\right)$$; 6) $$x\in [1;6]$$.
