Упр.13.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) x > корень из (24-5x); 4) 3-x > 3корень из (1-x^2);
2) корень из (2x+7) < =x+2; 5) корень из (x^2+3x+3) < 2x+1;
3) корень из (3x-x^2) < 4-x; 6) корень из (7x-x^2-6) < 2x+3.
$$x>\sqrt{24-5x}$$
Так как левая часть должна быть неотрицательной, то $$x>0$$. Возведём обе части в квадрат:
$$x^2>24-5x$$
$$x^2+5x-24>0$$
$$ (x+8)(x-3)>0 $$
Отсюда $$x<-8$$ или $$x>3$$. С учётом области определения:
$$24-5x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac{24}{5}$$
Получаем:
$$x\in(3;\tfrac{24}{5}]$$
$$\sqrt{2x+7}\le x+2$$
Область определения и условие неотрицательности правой части:
$$2x+7\ge 0,\quad x+2\ge 0$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+7\le (x+2)^2$$
$$2x+7\le x^2+4x+4$$
$$x^2+2x-3\ge 0$$
$$ (x+3)(x-1)\ge 0 $$
$$x\le -3$$ или $$x\ge 1$$.
С учётом $$x\ge -2$$ получаем:
$$x\in[1;+\infty)$$
$$\sqrt{3x-x^2}<4-x$$
Правая часть должна быть положительной:
$$4-x>0 \Rightarrow x<4$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x-x^2<(4-x)^2$$
$$3x-x^2<16-8x+x^2$$
$$2x^2-11x+16>0$$
Дискриминант:
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 16=121-128=-7<0$$
Так как $$a>0$$, то $$2x^2-11x+16>0$$ при всех $$x$$.
Остаётся учесть область определения корня:
$$3x-x^2\ge 0$$
$$x(3-x)\ge 0$$
$$x\in[0;3]$$
$$3-x>3\sqrt{1-x^2}$$
Так как правая часть неотрицательна, то необходимо:
$$3-x>0 \Rightarrow x<3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$ (3-x)^2>9(1-x^2) $$
$$9-6x+x^2>9-9x^2$$
$$10x^2-6x>0$$
$$2x(5x-3)>0$$
$$x<0$$ или $$x>\frac{3}{5}$$.
С учётом области определения:
$$1-x^2\ge 0 \Rightarrow -1\le x\le 1$$
Получаем:
$$x\in[-1;0)\cup\left(\frac{3}{5};1\right]$$
$$\sqrt{x^2+3x+3}<2x+1$$
Правая часть должна быть положительной:
$$2x+1>0 \Rightarrow x>-\frac12$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+3x+3<(2x+1)^2$$
$$x^2+3x+3<4x^2+4x+1$$
$$3x^2+x-2>0$$
$$ (3x-2)(x+1)>0 $$
$$x<-1$$ или $$x>\frac23$$.
С учётом $$x>-\frac12$$ получаем:
$$x\in\left(\frac23;+\infty\right)$$
$$\sqrt{7x-x^2-6}<2x+3$$
Правая часть должна быть положительной:
$$2x+3>0 \Rightarrow x>-\frac32$$
Возведём обе части в квадрат:
$$7x-x^2-6<(2x+3)^2$$
$$7x-x^2-6<4x^2+12x+9$$
$$5x^2+5x+15>0$$
$$x^2+x+3>0$$
Так как $$D=1-12=-11<0$$ и старший коэффициент положителен, то неравенство верно при всех $$x$$.
Остаётся учесть область определения корня:
$$7x-x^2-6\ge 0$$
$$x^2-7x+6\le 0$$
$$ (x-1)(x-6)\le 0 $$
$$x\in[1;6]$$
Ответ
1) $$x\in(3;\tfrac{24}{5}]$$; 2) $$x\in[1;+\infty)$$; 3) $$x\in[0;3]$$; 4) $$x\in[-1;0)\cup\left(\tfrac35;1\right]$$; 5) $$x\in\left(\tfrac23;+\infty\right)$$; 6) $$x\in[1;6]$$.
