Упр.13.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\sqrt{3x-2}<\sqrt{x+6}$$;
   2) $$\sqrt{2x^2+6x-3}\ge\sqrt{x^2+4x}$$;
   3) $$\sqrt{x^2+3x-10}<\sqrt{x-2}$$.

1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{3x-2}<\sqrt{x+6}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3x-2<x+6,$$

$$2x<8,$$

$$x<4.$$

Найдём область допустимых значений:

$$3x-2\ge 0,\quad x+6\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge \frac23,\quad x\ge -6.$$

Значит, $$x\ge \frac23.$$

Пересекаем с условием $$x<4$$:

$$x\in\left[\frac23;4\right).$$

2) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{2x^2+6x-3}\ge \sqrt{x^2+4x}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2x^2+6x-3\ge x^2+4x,$$

$$x^2+2x-3\ge 0,$$

$$\left(x+3\right)\left(x-1\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Найдём область допустимых значений:

$$2x^2+6x-3\ge 0,$$

$$x^2+4x\ge 0,$$

$$x(x+4)\ge 0,$$

$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 0.$$

Пересекаем полученные множества:

$$\left((-\infty;-3]\cup[1;+\infty)\right)\cap\left((-\infty;-4]\cup[0;+\infty)\right)=(-\infty;-4]\cup[1;+\infty).$$

3) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x^2+3x-10}<\sqrt{x-2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2+3x-10<x-2,$$

$$x^2+2x-8<0,$$

$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)<0.$$

Отсюда

$$-4<x<2.$$

Найдём область допустимых значений:

$$x^2+3x-10\ge 0,$$

$$\left(x+5\right)\left(x-2\right)\ge 0,$$

$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

Также должно выполняться

$$x-2\ge 0,\quad x\ge 2.$$

Пересечение условий даёт $$x\ge 2.$$

Но вместе с неравенством $$-4<x<2$$ это невозможно, значит, решений нет.

Ответ: 1) $$x\in\left[\frac23;4\right)$$; 2) $$x\in(-\infty;-4]\cup[1;+\infty)$$; 3) $$\varnothing$$.