Упр.13.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$\sqrt{2x-4}\ge\sqrt{5-x}$$;
4) $$\sqrt{x^2-3x+1}>\sqrt{2x-3}$$;
2) $$\sqrt{x}<\sqrt{x+1}$$;
5) $$\sqrt{8-5x}\ge\sqrt{x^2-16}$$;
3) $$\sqrt{x^2+x}<\sqrt{x^2+1}$$;
6) $$\sqrt{x^2-3x+2}<\sqrt{2x^2-3x+1}$$.
1) $$\sqrt{2x-4}\ge \sqrt{5-x}$$
Так как функция $$\sqrt{x}$$ возрастает, получаем:
$$2x-4\ge 5-x$$
$$3x\ge 9$$
$$x\ge 3$$
Область допустимых значений:
$$2x-4\ge 0,\quad 5-x\ge 0$$
$$x\ge 2,\quad x\le 5$$
Тогда
$$x\in [3;5].$$
2) $$\sqrt{x}<\sqrt{x+1}$$
Так как функция $$\sqrt{x}$$ возрастает, имеем:
$$x<x+1$$
Это верно при любых значениях, где выражения определены.
ОДЗ:
$$x\ge 0$$
Следовательно,
$$x\in [0;+\infty).$$
3) $$\sqrt{x^2+x}<\sqrt{x^2+1}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$x^2+x<x^2+1$$
$$x<1$$
ОДЗ:
$$x^2+x\ge 0$$
$$x(x+1)\ge 0$$
$$x\in (-\infty;-1]\cup [0;+\infty)$$
Пересекаем с условием $$x<1$$:
$$x\in (-\infty;-1]\cup [0;1).$$
4) $$\sqrt{x^2-3x+1}>\sqrt{2x-3}$$
Так как функция $$\sqrt{x}$$ возрастает, получаем:
$$x^2-3x+1>2x-3$$
$$x^2-5x+4>0$$
$$(x-1)(x-4)>0$$
Отсюда
$$x<1 \text{ или } x>4.$$
ОДЗ:
$$2x-3\ge 0$$
$$x\ge \frac32$$
Пересечение даёт:
$$x\in (4;+\infty).$$
5) $$\sqrt{8-5x}\ge \sqrt{x^2-16}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$8-5x\ge x^2-16$$
$$x^2+5x-24\le 0$$
$$(x+8)(x-3)\le 0$$
$$-8\le x\le 3$$
ОДЗ:
$$x^2-16\ge 0$$
$$(x+4)(x-4)\ge 0$$
$$x\le -4 \text{ или } x\ge 4$$
Пересечение:
$$x\in [-8;-4].$$
6) $$\sqrt{x^2-3x+2}<\sqrt{2x^2-3x+1}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$x^2-3x+2<2x^2-3x+1$$
$$x^2-1>0$$
$$(x-1)(x+1)>0$$
$$x<-1 \text{ или } x>1$$
ОДЗ:
$$x^2-3x+2\ge 0$$
$$(x-1)(x-2)\ge 0$$
$$x\le 1 \text{ или } x\ge 2$$
Пересечение условий:
$$x\in (-\infty;-1)\cup [2;+\infty).$$
Ответ
1) $$x\in [3;5]$$; 2) $$x\in [0;+\infty)$$; 3) $$x\in (-\infty;-1]\cup [0;1)$$; 4) $$x\in (4;+\infty)$$; 5) $$x\in [-8;-4]$$; 6) $$x\in (-\infty;-1)\cup [2;+\infty)$$.
