Упр.12.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из (x+3)-корень из (2x-1)-корень из (3x-2)=0; 2) корень из (x+1)+корень из (x-1)=корень из (3x-1).

1. $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}-\sqrt{3x-2}=0$$

   Перенесём корни в одну сторону:

   $$\sqrt{x+3}=\sqrt{2x-1}+\sqrt{3x-2}$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+3=(2x-1)+(3x-2)+2\sqrt{(2x-1)(3x-2)}$$

   $$6-4x=2\sqrt{6x^2-7x+2}$$

   $$3-2x=\sqrt{6x^2-7x+2}$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$9-12x+4x^2=6x^2-7x+2$$

   $$2x^2+5x-7=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81$$

   $$x_1=\frac{-5-9}{4}=-\frac{7}{2}, \qquad x_2=\frac{-5+9}{4}=1$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$x+3\ge 0,\quad 2x-1\ge 0,\quad 3x-2\ge 0$$

   Отсюда $$x\ge \frac{2}{3}$$. Подходит только $$x=1$$.

2. $$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-1}$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+1+2\sqrt{(x+1)(x-1)}+x-1=3x-1$$

   $$2\sqrt{x^2-1}=x-1$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$4(x^2-1)=(x-1)^2$$

   $$4x^2-4=x^2-2x+1$$

   $$3x^2+2x-5=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=4+60=64$$

   $$x_1=\frac{-2-8}{6}=-\frac{5}{3}, \qquad x_2=\frac{-2+8}{6}=1$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x+1\ge 0,\quad x-1\ge 0,\quad 3x-1\ge 0$$

   Отсюда $$x\ge 1$$. Подходит только $$x=1$$.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=1$$.