Упр.12.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$$; 2) $$\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}$$.

1) $$\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}.$$

Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{3x+4}=2\sqrt{x}-\sqrt{x-4}.$$

$$3x+4=4x-4\sqrt{x(x-4)}+x-4.$$

$$4\sqrt{x(x-4)}=2x-8.$$

$$2\sqrt{x(x-4)}=x-4.$$

Снова возведём в квадрат:

$$4x(x-4)=(x-4)^2.$$

$$4x^2-16x=x^2-8x+16.$$

$$3x^2-8x-16=0.$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-16)=64+192=256.$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 16}{6}.$$

$$x_1=-\frac{4}{3},\quad x_2=4.$$

Проверим область допустимых значений:

$$3x+4\ge 0,\quad x-4\ge 0,\quad x\ge 0.$$

Отсюда $$x\ge 4.$$ Значит, подходит только $$x=4.$$

2) $$\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}.$$

Область допустимых значений:

$$x+1\ge 0,\quad 9-x\ge 0,\quad 2x-12\ge 0.$$

То есть $$x\ge -1,\quad x\le 9,\quad x\ge 6.$$

Следовательно, $$6\le x\le 9.$$

Перенесём второй корень вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{x+1}=\sqrt{2x-12}+\sqrt{9-x}.$$

$$x+1=(2x-12)+(9-x)+2\sqrt{(2x-12)(9-x)}.$$

$$x+1=x-3+2\sqrt{(2x-12)(9-x)}.$$

$$4=2\sqrt{(2x-12)(9-x)}.$$

$$2=\sqrt{(2x-12)(9-x)}.$$

Возведём в квадрат:

$$4=(2x-12)(9-x).$$

$$4=30x-108-2x^2.$$

$$2x^2-30x+112=0.$$

$$x^2-15x+56=0.$$

$$D=15^2-4\cdot 56=225-224=1.$$

$$x_{1,2}=\frac{15\pm 1}{2}.$$

$$x_1=7,\quad x_2=8.$$

Оба корня принадлежат ОДЗ и подходят.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$7,\ 8$$.