Упр.12.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из (3x+4)+корень из (x-4)=2корень из x; 2) корень из (x+1)-корень из (9-x)=корень из (2x-12).

1. $$\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$3x+4+2\sqrt{(3x+4)(x-4)}+x-4=4x$$
   $$2\sqrt{(3x+4)(x-4)}=0$$
   $$\sqrt{(3x+4)(x-4)}=0$$
   $$3x^2-8x-16=0$$

   $$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-16)=64+192=256$$
   $$x_{1,2}=\frac{8\pm 16}{6}$$
   $$x_1=-\frac{4}{3},\quad x_2=4$$

   Проверим область допустимых значений:
   $$3x+4\ge 0,\quad x-4\ge 0,\quad x\ge 0$$
   Отсюда $$x\ge 4$$.
   Подходит только $$x=4$$.

2. $$\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}$$

   Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:
   $$\sqrt{x+1}=\sqrt{2x-12}+\sqrt{9-x}$$
   $$x+1=(2x-12)+(9-x)+2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$
   $$x+1=x-3+2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$
   $$4=2\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$
   $$2=\sqrt{(2x-12)(9-x)}$$

   Снова возведём в квадрат:
   $$4=(2x-12)(9-x)$$
   $$4=30x-108-2x^2$$
   $$2x^2-30x+112=0$$
   $$x^2-15x+56=0$$
   $$\left(x-7\right)\left(x-8\right)=0$$
   $$x=7 \text{ или } x=8$$

   Проверим ОДЗ:
   $$x+1\ge 0,\quad 9-x\ge 0,\quad 2x-12\ge 0$$
   $$x\ge 6,\quad x\le 9$$
   Оба корня подходят.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$7,\ 8$$.