Упр.12.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{2x-4}-\sqrt{x+5}=1$$; $$\sqrt{3x+1}+\sqrt{16-3x}=5$$.
2. $$\sqrt{x+11}-\sqrt{2x+1}=2$$.

1. $$\sqrt{2x-4}-\sqrt{x+5}=1$$

   Перенесём второй корень вправо:

   $$\sqrt{2x-4}=1+\sqrt{x+5}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$2x-4=1+2\sqrt{x+5}+x+5$$

   $$x-10=2\sqrt{x+5}$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$\left(x-10\right)^2=4(x+5)$$

   $$x^2-20x+100=4x+20$$

   $$x^2-24x+80=0$$

   $$D=24^2-4\cdot 80=256$$

   $$x=\frac{24\pm 16}{2}$$

   $$x_1=4,\quad x_2=20$$

   Проверим по условию:

   $$x-10\ge 0 \Rightarrow x\ge 10$$

   Подходит только $$x=20$$.

2. $$\sqrt{x+11}-\sqrt{2x+1}=2$$

   Перенесём второй корень вправо:

   $$\sqrt{x+11}=2+\sqrt{2x+1}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x+11=4+4\sqrt{2x+1}+2x+1$$

   $$6-x=4\sqrt{2x+1}$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$\left(6-x\right)^2=16(2x+1)$$

   $$36-12x+x^2=32x+16$$

   $$x^2-44x+20=0$$

   $$D=44^2-4\cdot 20=1856$$

   $$x=\frac{44\pm \sqrt{1856}}{2}=22\pm \sqrt{464}$$

   Проверим по условию:

   $$6-x\ge 0 \Rightarrow x\le 6$$

   Подходит только $$x=22-\sqrt{464}$$.

3. $$\sqrt{3x+1}+\sqrt{16-3x}=5$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$3x+1+2\sqrt{(3x+1)(16-3x)}+16-3x=25$$

   $$2\sqrt{(3x+1)(16-3x)}=8$$

   $$\sqrt{(3x+1)(16-3x)}=4$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$\left(3x+1\right)\left(16-3x\right)=16$$

   $$48x-9x^2+16-3x=16$$

   $$9x^2-45x=0$$

   $$9x(x-5)=0$$

   $$x_1=0,\quad x_2=5$$

   Оба значения подходят по области определения.

Ответ

1) $$20$$; 2) $$22-\sqrt{464}$$; 3) $$0,\,5$$.