Упр.12.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
1) $$\sqrt{2x+6}-\sqrt{x+1}=2$$;
5) $$\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=4$$;
2) $$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$$;
6) $$\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+3}=2$$;
3) $$\sqrt{x-5}-\sqrt{9-x}=1$$;
7) $$\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x-\sqrt{x+11}}=4$$;
4) $$\sqrt{2x+5}=8-\sqrt{x-1}$$.
1) $$\sqrt{2x+6}-\sqrt{x+1}=2$$
$$\sqrt{2x+6}=2+\sqrt{x+1}$$
$$2x+6=4+4\sqrt{x+1}+x+1$$
$$x+1=4\sqrt{x+1}$$
$$\left(x+1\right)^2=16\left(x+1\right)$$
$$x^2+2x+1=16x+16$$
$$x^2-14x-15=0$$
$$D=14^2+4\cdot 15=256$$
$$x_{1,2}=\frac{14\pm 16}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=15$$
Проверка ОДЗ: $$2x+6\ge 0,\ x+1\ge 0$$, значит $$x\ge -1$$. Оба корня подходят.
Ответ: $$-1;\ 15$$.
2) $$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$$
$$\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}$$
$$x+5=1+2\sqrt{x}+x$$
$$4=2\sqrt{x}$$
$$\sqrt{x}=2$$
$$x=4$$
Проверка ОДЗ: $$x\ge 0$$. Значение $$x=4$$ подходит.
Ответ: $$4$$.
3) $$\sqrt{x-5}-\sqrt{9-x}=1$$
$$\sqrt{x-5}=1+\sqrt{9-x}$$
$$x-5=1+2\sqrt{9-x}+9-x$$
$$2x-15=2\sqrt{9-x}$$
$$\left(2x-15\right)^2=4(9-x)$$
$$4x^2-60x+225=36-4x$$
$$4x^2-56x+189=0$$
$$D=56^2-4\cdot 4\cdot 189=112$$
$$x=\frac{56\pm \sqrt{112}}{8}=\frac{14\pm \sqrt{7}}{2}$$
С учётом ОДЗ: $$x\ge 5,\ x\le 9,\ 2x-15\ge 0$$, подходит только
$$x=\frac{14+\sqrt{7}}{2}$$
Ответ: $$\frac{14+\sqrt{7}}{2}$$.
4) $$\sqrt{2x+5}=8-\sqrt{x-1}$$
$$\sqrt{2x+5}+\sqrt{x-1}=8$$
$$2x+5+2\sqrt{(2x+5)(x-1)}+x-1=64$$
$$2\sqrt{2x^2+3x-5}=60-3x$$
$$4(2x^2+3x-5)=\left(60-3x\right)^2$$
$$8x^2+12x-20=3600-360x+9x^2$$
$$x^2-372x+3620=0$$
$$D=372^2-4\cdot 3620=123904=352^2$$
$$x_{1,2}=\frac{372\pm 352}{2}$$
$$x_1=10,\quad x_2=362$$
Проверка ОДЗ: $$x\ge 1$$ и $$8-\sqrt{x-1}\ge 0$$, то есть $$x\le 20$$. Подходит только $$x=10$$.
Ответ: $$10$$.
5) $$\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=4$$
$$x+5+2\sqrt{(x+5)(5-x)}+5-x=16$$
$$2\sqrt{25-x^2}=6$$
$$\sqrt{25-x^2}=3$$
$$25-x^2=9$$
$$x^2=16$$
$$x=\pm 4$$
Проверка ОДЗ: $$-5\le x\le 5$$. Оба корня подходят.
Ответ: $$-4;\ 4$$.
6) $$\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+3}=2$$
$$3x-1+2\sqrt{(3x-1)(x+3)}+x+3=4$$
$$2\sqrt{3x^2+8x-3}=2-4x$$
$$\sqrt{3x^2+8x-3}=1-2x$$
$$3x^2+8x-3=1-4x+4x^2$$
$$x^2-12x+4=0$$
$$D=12^2-4\cdot 4=128$$
$$x=\frac{12\pm \sqrt{128}}{2}=6\pm 4\sqrt{2}$$
С учётом ОДЗ: $$x\ge \frac13,\ x\ge -3,\ 1-2x\ge 0$$, то есть $$x\le \frac12$$. Подходит только
$$x=6-4\sqrt{2}$$
Ответ: $$6-4\sqrt{2}$$.
7) $$\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x-\sqrt{x+11}}=4$$
$$x+\sqrt{x+11}+2\sqrt{(x+\sqrt{x+11})(x-\sqrt{x+11})}+x-\sqrt{x+11}=16$$
$$2\sqrt{x^2-(x+11)}=16-2x$$
$$\sqrt{x^2-x-11}=8-x$$
$$x^2-x-11=64-16x+x^2$$
$$15x=75$$
$$x=5$$
Проверка ОДЗ: $$x+\sqrt{x+11}\ge 0$$ и $$x-\sqrt{x+11}\ge 0$$. При $$x=5$$ оба подкоренных выражения неотрицательны.
Ответ: $$5$$.
