Упр.12.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{x^2-4x+13}=\frac{1}{2}x+2$$;
3. $$\sqrt{x+2}=1-x$$;
2. $$\sqrt{2x^2+8x+7}-2=x$$.

1. $$\sqrt{x^2-4x+13}=\frac12x+2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-4x+13=\left(\frac12x+2\right)^2=\frac14x^2+2x+4$$

   Умножим на $$4$$:

   $$4x^2-16x+52=x^2+8x+16$$

   $$3x^2-24x+36=0$$

   $$x^2-8x+12=0$$

   $$D=64-48=16$$

   $$x_{1,2}=\frac{8\pm4}{2}$$

   $$x_1=2,\quad x_2=6$$

   Проверка области допустимых значений:

   $$\frac12x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -4$$

   Оба корня подходят.

2. $$\sqrt{2x^2+8x+7}-2=x$$

   Перенесём число $$2$$ вправо:

   $$\sqrt{2x^2+8x+7}=x+2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$2x^2+8x+7=(x+2)^2=x^2+4x+4$$

   $$x^2+4x+3=0$$

   $$D=16-12=4$$

   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm2}{2}$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=-1$$

   Проверка:

   $$x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2$$

   Корень $$x=-3$$ не подходит, а $$x=-1$$ подходит.

3. $$\sqrt{x+2}=1-x$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x+2=(1-x)^2=x^2-2x+1$$

   $$x^2-3x-1=0$$

   $$D=9+4=13$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$$

   Проверка области допустимых значений:

   $$1-x\ge 0 \Rightarrow x\le 1$$

   Из найденных корней условию удовлетворяет только

   $$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$$

Ответ

1) $$2,\,6$$; 2) $$-1$$; 3) $$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$$.