Упр.12.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$$;
   4) $$\sqrt{2x^2-7x+5}=1-x$$;
   2) $$\sqrt{6-4x-x^2}=x+4$$;
   5) $$\sqrt{x}=x-1$$;
   3) $$\sqrt{x^2+8}=2x+1$$;
   6) $$\sqrt{x^2-1}=3-2x$$.

1) $$\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4+2x-x^2=x^2-4x+4$$

$$2x^2-6x=0$$

$$2x(x-3)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=3$$

Проверим условие $$x-2\ge 0$$, то есть $$x\ge 2$$. Подходит только $$x=3$$.

2) $$\sqrt{6-4x-x^2}=x+4$$

$$6-4x-x^2=x^2+8x+16$$

$$2x^2+12x+10=0$$

$$x^2+6x+5=0$$

$$x=-5 \text{ или } x=-1$$

Проверим условие $$x+4\ge 0$$, то есть $$x\ge -4$$. Подходит только $$x=-1$$.

3) $$\sqrt{x^2+8}=2x+1$$

$$x^2+8=4x^2+4x+1$$

$$3x^2+4x-7=0$$

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-7)=100$$

$$x=\frac{-4\pm 10}{6}$$

$$x_1=-\frac{7}{3},\quad x_2=1$$

Проверим условие $$2x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac12$$. Подходит только $$x=1$$.

4) $$\sqrt{2x^2-7x+5}=1-x$$

$$2x^2-7x+5=1-2x+x^2$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$x=1 \text{ или } x=4$$

Проверим условие $$1-x\ge 0$$, то есть $$x\le 1$$. Подходит только $$x=1$$.

5) $$\sqrt{x}=x-1$$

$$x=x^2-2x+1$$

$$x^2-3x+1=0$$

$$D=9-4=5$$

$$x=\frac{3\pm \sqrt5}{2}$$

Проверим условие $$x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1$$. Подходит только

$$x=\frac{3+\sqrt5}{2}$$

6) $$\sqrt{x^2-1}=3-2x$$

$$x^2-1=9-12x+4x^2$$

$$3x^2-12x+10=0$$

$$D=144-120=24$$

$$x=\frac{12\pm \sqrt{24}}{6}=\frac{12\pm 2\sqrt6}{6}=\frac{6\pm \sqrt6}{3}$$

Проверим условие $$3-2x\ge 0$$, то есть $$x\le \frac32$$. Подходит только

$$x=\frac{6-\sqrt6}{3}$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$-1$$; 3) $$1$$; 4) $$1$$; 5) $$\frac{3+\sqrt5}{2}$$; 6) $$\frac{6-\sqrt6}{3}$$.