Упр.12.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sqrt{x+2}\cdot\sqrt{x+8}=4$$;
   3) $$\frac{x+3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{3x+1}$$;
   2) $$x-1=\sqrt{2x-5}\cdot\sqrt{x+1}$$;
   4) $$\frac{12}{\sqrt{x+10}}-\sqrt{2x+3}=\sqrt{x+10}$$.

1) $$\sqrt{x+2}\cdot\sqrt{x+8}=4$$

$$\sqrt{(x+2)(x+8)}=4$$

$$(x+2)(x+8)=16$$

$$x^2+10x+16=16$$

$$x^2+10x=0$$

$$x(x+10)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=-10$$

С учётом области определения: $$x+2\ge 0,\; x+8\ge 0,$$ то есть $$x\ge -2.$$

Подходит только $$x=0.$$

2) $$x-1=\sqrt{2x-5}\cdot\sqrt{x+1}$$

$$x-1=\sqrt{(2x-5)(x+1)}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x-1)^2=(2x-5)(x+1)$$

$$x^2-2x+1=2x^2-3x-5$$

$$x^2-x-6=0$$

$$(x-3)(x+2)=0$$

$$x=3 \text{ или } x=-2$$

По области определения: $$2x-5\ge 0,\; x+1\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac52.$$

Подходит только $$x=3.$$

3) $$\frac{x+3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{3x+1}$$

Область определения: $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$

Умножим на $$\sqrt{x-1}$$:

$$x+3=\sqrt{3x+1}\cdot\sqrt{x-1}$$

$$x+3=\sqrt{(3x+1)(x-1)}$$

Возведём в квадрат:

$$(x+3)^2=(3x+1)(x-1)$$

$$x^2+6x+9=3x^2-2x-1$$

$$2x^2-8x-10=0$$

$$x^2-4x-5=0$$

$$(x-5)(x+1)=0$$

$$x=5 \text{ или } x=-1$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=5.$$

4) $$\frac{12}{\sqrt{x+10}}-\sqrt{2x+3}=\sqrt{x+10}$$

Область определения: $$x+10>0,\; 2x+3\ge 0,$$ значит $$x\ge -\frac32.$$

Умножим уравнение на $$\sqrt{x+10}$$:

$$12-\sqrt{2x+3}\cdot\sqrt{x+10}=x+10$$

$$2-x=\sqrt{(2x+3)(x+10)}$$

Возведём в квадрат:

$$(2-x)^2=(2x+3)(x+10)$$

$$x^2-4x+4=2x^2+23x+30$$

$$x^2+27x+26=0$$

$$(x+1)(x+26)=0$$

$$x=-1 \text{ или } x=-26$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=-1.$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$3$$; 3) $$5$$; 4) $$-1$$.