Упр.12.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+4}=6$$
2. $$\sqrt{2x+3}\cdot\sqrt{x-2}=3$$
3. $$\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x+2}=4$$
4. $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{1-x}=x$$
5. $$\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}}=\sqrt{x-4}$$
6. $$\sqrt{x-9}+\sqrt{x}=\frac{36}{\sqrt{x-9}}$$
7. $$\sqrt{7-x}+\frac{12}{\sqrt{7-x}}=2\sqrt{5x+37}$$

1) $$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+4}=6$$

$$\sqrt{(x-1)(x+4)}=6$$

$$(x-1)(x+4)=36$$

$$x^2+3x-4=36$$

$$x^2+3x-40=0$$

$$D=3^2+4\cdot 40=169$$

$$x_1=\frac{-3-13}{2}=-8,\qquad x_2=\frac{-3+13}{2}=5$$

С учётом области определения $$x\ge 1$$ подходит только $$x=5$$.

2) $$\sqrt{2x+3}\cdot\sqrt{x-2}=3$$

$$\sqrt{(2x+3)(x-2)}=3$$

$$(2x+3)(x-2)=9$$

$$2x^2-x-6=9$$

$$2x^2-x-15=0$$

$$D=1+120=121$$

$$x_1=\frac{1-11}{4}=-\frac52,\qquad x_2=\frac{1+11}{4}=3$$

С учётом области определения $$x\ge 2$$ подходит только $$x=3$$.

3) $$\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x+2}=4$$

$$\sqrt{(x+1)(x+2)}=4$$

$$(x+1)(x+2)=16$$

$$x^2+3x+2=16$$

$$x^2+3x-14=0$$

$$D=9+56=65$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{2}$$

С учётом области определения $$x\ge -1$$ подходит только

$$x=\frac{-3+\sqrt{65}}{2}$$

4) $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{1-x}=x$$

$$x(1-x)=x^2$$

$$x-x^2=x^2$$

$$2x^2-x=0$$

$$x(2x-1)=0$$

$$x_1=0,\qquad x_2=\frac12$$

Оба корня удовлетворяют области определения $$0\le x\le 1$$.

5) $$\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}}=\sqrt{x-4}$$

$$x-2=\sqrt{2x-7}\cdot\sqrt{x-4}$$

$$x-2=\sqrt{(2x-7)(x-4)}$$

$$(x-2)^2=(2x-7)(x-4)$$

$$x^2-4x+4=2x^2-15x+28$$

$$x^2-11x+24=0$$

$$(x-3)(x-8)=0$$

$$x_1=3,\qquad x_2=8$$

С учётом области определения $$x\ge 4$$ подходит только $$x=8$$.

6) $$\sqrt{x-9}+\sqrt{x}=\frac{36}{\sqrt{x-9}}$$

Пусть $$t=\sqrt{x-9}$$, тогда $$x=t^2+9$$ и $$\sqrt{x}=\sqrt{t^2+9}$$. Умножим уравнение на $$\sqrt{x-9}$$:

$$(x-9)+\sqrt{x(x-9)}=36$$

$$\sqrt{x(x-9)}=45-x$$

Возведём в квадрат:

$$x(x-9)=(45-x)^2$$

$$x^2-9x=x^2-90x+2025$$

$$81x=2025$$

$$x=25$$

Проверка области определения: $$x>9$$, значит ответ подходит.

7) $$\sqrt{7-x}+\frac{12}{\sqrt{7-x}}=2\sqrt{5x+37}$$

Умножим на $$\sqrt{7-x}$$:

$$7-x+12=2\sqrt{(5x+37)(7-x)}$$

$$19-x=2\sqrt{(5x+37)(7-x)}$$

Возведём в квадрат:

$$(19-x)^2=4(5x+37)(7-x)$$

$$361-38x+x^2=4(259-37x+35x-5x^2)$$

$$361-38x+x^2=1036-8x-20x^2$$

$$21x^2-30x-675=0$$

$$7x^2-10x-225=0$$

$$D=100+6300=6400$$

$$x_1=\frac{10-80}{14}=-5,\qquad x_2=\frac{10+80}{14}=\frac{45}{7}$$

С учётом области определения $$x<7$$ и $$x\le \frac{37}{5}$$ оба корня подходят.

Ответ: 1) $$5$$; 2) $$3$$; 3) $$\frac{-3+\sqrt{65}}{2}$$; 4) $$0,\ \frac12$$; 5) $$8$$; 6) $$25$$; 7) $$-5,\ \frac{45}{7}$$.