Упр.11.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. а) $$\sqrt{(3x-1)(4x+3)}=3x-1$$; б) $$(x-1)\sqrt{x^2-3x-3}=5x-5$$.

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{(3x-1)(4x+3)}=3x-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(3x-1)(4x+3)=(3x-1)^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$(3x-1)\bigl((4x+3)-(3x-1)\bigr)=0,$$

$$(3x-1)(x+4)=0.$$

Отсюда

$$3x-1=0 \quad \text{или} \quad x+4=0.$$

Получаем кандидаты:

$$x=\frac13 \quad \text{или} \quad x=-4.$$

Проверим:

при $$x=\frac13$$ имеем $$\sqrt{0}=0$$ и $$3x-1=0$$ — подходит;

при $$x=-4$$ имеем $$3x-1=-13<0$$, а левая часть неотрицательна, значит это значение не подходит.

2) Рассмотрим уравнение

$$(x-1)\sqrt{x^2-3x-3}=5x-5.$$

Вынесем общий множитель справа:

$$(x-1)\sqrt{x^2-3x-3}=5(x-1).$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем $$x-1$$:

$$(x-1)\bigl(\sqrt{x^2-3x-3}-5\bigr)=0.$$

Отсюда:

$$x-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x^2-3x-3}=5.$$

1) $$x=1$$. Проверка: $$x^2-3x-3=1-3-3=-5<0$$, значит это значение не подходит.

2) $$\sqrt{x^2-3x-3}=5$$, тогда

$$x^2-3x-3=25,$$

$$x^2-3x-28=0.$$

$$D=9+112=121,$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 11}{2}.$$

Получаем

$$x_1=-4,\quad x_2=7.$$

Оба значения подходят.

Ответ

1) $$\frac13$$; 2) $$-4,\ 7$$.