Упр.11.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из ((3x-1)(4x+3))=3x-1;
2) (x-1)корень из (x^2-3x-3)=5x-5.

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{(3x-1)(4x+3)}=3x-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$ (3x-1)(4x+3)=(3x-1)^2. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ (3x-1)\bigl((4x+3)-(3x-1)\bigr)=0, $$

откуда

$$ (3x-1)(x+4)=0. $$

Получаем:

$$ 3x-1=0 \quad \text{или} \quad x+4=0. $$

Тогда

$$ x=\frac13 \quad \text{или} \quad x=-4. $$

Проверим:

при $$x=\frac13$$ имеем $$\sqrt{(3\cdot \frac13-1)(4\cdot \frac13+3)}=0$$ и $$3\cdot \frac13-1=0$$, подходит;

при $$x=-4$$ получаем $$3x-1=-13<0$$, значит это значение не подходит.

Следовательно, $$x=\frac13$$.

2) Рассмотрим уравнение

$$ (x-1)\sqrt{x^2-3x-3}=5x-5. $$

Вынесем общий множитель справа:

$$ (x-1)\sqrt{x^2-3x-3}=5(x-1). $$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем $$x-1$$:

$$ (x-1)\bigl(\sqrt{x^2-3x-3}-5\bigr)=0. $$

Отсюда:

$$ x-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x^2-3x-3}=5. $$

1) $$x=1$$. Проверка:

$$ \sqrt{1^2-3\cdot 1-3}=\sqrt{-5} $$

не имеет смысла, значит $$x=1$$ не подходит.

2) $$\sqrt{x^2-3x-3}=5$$.

Возведём в квадрат:

$$ x^2-3x-3=25, $$

$$ x^2-3x-28=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-28)=9+112=121, $$

$$ x=\frac{3\pm 11}{2}. $$

Получаем:

$$ x=-4,\quad x=7. $$

Проверка показывает, что оба значения подходят.

Ответ

1) $$\frac13$$; 2) $$-4,\ 7$$.