Упр.11.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из ((2x+3)(x-4))=x-4; 3) (x+2)корень из (x^2-x-20)=6x+12;
2) корень из ((x-2)(2x-5))+2=x; 4) (x+1)корень из (x^2-5x+5)=x+1.

1. $$\sqrt{(2x+3)(x-4)}=x-4$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$x-4\ge 0$$, то есть $$x\ge 4$$.

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ (2x+3)(x-4)=(x-4)^2 $$

   $$ 2x^2-5x-12=x^2-8x+16 $$

   $$ x^2+3x-28=0 $$

   $$ (x+7)(x-4)=0 $$

   $$ x=-7 \text{ или } x=4 $$

   С учётом условия $$x\ge 4$$ подходит только $$x=4$$.

2. $$\sqrt{(x-2)(2x-5)}+2=x$$

   $$\sqrt{(x-2)(2x-5)}=x-2$$

   Отсюда $$x-2\ge 0$$, то есть $$x\ge 2$$.

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ (x-2)(2x-5)=(x-2)^2 $$

   $$ 2x^2-9x+10=x^2-4x+4 $$

   $$ x^2-5x+6=0 $$

   $$ (x-2)(x-3)=0 $$

   $$ x=2 \text{ или } x=3 $$

   Оба значения удовлетворяют уравнению.

3. $$ (x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6x+12 $$

   $$ (x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6(x+2) $$

   Перенесём в одну сторону:

   $$ (x+2)\bigl(\sqrt{x^2-x-20}-6\bigr)=0 $$

   Отсюда:

   1) $$x+2=0 \Rightarrow x=-2$$;

   2) $$\sqrt{x^2-x-20}=6$$, тогда

   $$ x^2-x-20=36 $$

   $$ x^2-x-56=0 $$

   $$ (x-8)(x+7)=0 $$

   $$ x=8 \text{ или } x=-7 $$

   Проверка показывает, что все три значения подходят.

4. $$ (x+1)\sqrt{x^2-5x+5}=x+1 $$

   $$ (x+1)\bigl(\sqrt{x^2-5x+5}-1\bigr)=0 $$

   Отсюда:

   1) $$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$;

   2) $$\sqrt{x^2-5x+5}=1$$, тогда

   $$ x^2-5x+5=1 $$

   $$ x^2-5x+4=0 $$

   $$ (x-1)(x-4)=0 $$

   $$ x=1 \text{ или } x=4 $$

   Все найденные значения подходят.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$2,\,3$$; 3) $$-7,\, -2,\, 8$$; 4) $$-1,\,1,\,4$$.