Упр.11.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите уравнение: 1) $$\sqrt{10-3x}=-x$$; 4) $$3\sqrt{x+10}-11=2x$$; 2) $$x=\sqrt{x+5}+1$$; 5) $$x-\sqrt{3x^2-11x-20}=5$$; 3) $$\sqrt{2x^2+5x+4}=2x+2$$.
1) $$\sqrt{10-3x}=-x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$10-3x=x^2$$
$$x^2+3x-10=0$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=2$$
Проверим область допустимых значений:
$$10-3x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac{10}{3},\qquad -x\ge 0 \Rightarrow x\le 0$$
Подходит только $$x=-5$$.
2) $$x=\sqrt{x+5}+1$$
$$\sqrt{x+5}=x-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+5=(x-1)^2$$
$$x+5=x^2-2x+1$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=3^2+4\cdot 4=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4$$
Проверим: при $$x=-1$$ правая часть исходного уравнения отрицательна, значит это не подходит. При $$x=4$$ получаем верное равенство.
3) $$\sqrt{2x^2+5x+4}=2x+2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x^2+5x+4=(2x+2)^2$$
$$2x^2+5x+4=4x^2+8x+4$$
$$2x^2+3x=0$$
$$x(2x+3)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-\frac{3}{2}$$
Проверка показывает, что при $$x=-\frac{3}{2}$$ правая часть отрицательна, поэтому этот корень не подходит. При $$x=0$$ получаем верное равенство.
4) $$3\sqrt{x+10}-11=2x$$
$$3\sqrt{x+10}=2x+11$$
Возведём обе части в квадрат:
$$9(x+10)=(2x+11)^2$$
$$9x+90=4x^2+44x+121$$
$$4x^2+35x+31=0$$
$$D=35^2-4\cdot 4\cdot 31=729$$
$$x_{1,2}=\frac{-35\pm 27}{8}$$
$$x_1=-\frac{31}{4},\quad x_2=-1$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=-1$$.
5) $$x-\sqrt{3x^2-11x-20}=5$$
$$\sqrt{3x^2-11x-20}=x-5$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x^2-11x-20=(x-5)^2$$
$$3x^2-11x-20=x^2-10x+25$$
$$2x^2-x-45=0$$
$$D=1+4\cdot 2\cdot 45=361$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 19}{4}$$
$$x_1=-\frac{9}{2},\quad x_2=5$$
Проверка: $$x=-\frac{9}{2}$$ не подходит, а при $$x=5$$ получаем верное равенство.
Ответ: 1) $$-5$$; 2) $$4$$; 3) $$0$$; 4) $$-1$$; 5) $$5$$.
