Упр.11.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) корень из (2-x)=x; 5) 2корень из (x+5)=x+2;
2) корень из (x+1)=x-1; 6) корень из (15-3x)-1=x;
3) корень из (3x-2)=x; 7) x-корень из (2x^2+x-21)=3;
4) корень из (2x^2-3x-10)=x; 8) x+2+корень из (8-3x-x^2)=0.

Подробный ответ

$$\sqrt{2-x}=x$$

Возведём обе части в квадрат:
$$2-x=x^2$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$

С учётом ОДЗ: $$2-x\ge 0,\ x\ge 0$$, подходит только $$x=1$$.
$$\sqrt{x+1}=x-1$$

Возведём обе части в квадрат:
$$x+1=(x-1)^2$$
$$x+1=x^2-2x+1$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=3$$

По ОДЗ: $$x+1\ge 0,\ x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1$$. Подходит только $$x=3$$.
$$\sqrt{3x-2}=x$$

Возведём обе части в квадрат:
$$3x-2=x^2$$
$$x^2-3x+2=0$$
$$D=9-8=1$$
$$x_1=1,\quad x_2=2$$

ОДЗ: $$3x-2\ge 0,\ x\ge 0$$. Оба корня подходят.
$$\sqrt{2x^2-3x-10}=x$$

Возведём обе части в квадрат:
$$2x^2-3x-10=x^2$$
$$x^2-3x-10=0$$
$$D=9+40=49$$
$$x_1=-2,\quad x_2=5$$

Проверка показывает, что подходит только $$x=5$$.
$$2\sqrt{x+5}=x+2$$

Возведём обе части в квадрат:
$$4(x+5)=(x+2)^2$$
$$4x+20=x^2+4x+4$$
$$x^2-16=0$$
$$x=\pm 4$$

По ОДЗ: $$x+5\ge 0,\ x+2\ge 0$$. Подходит только $$x=4$$.
$$\sqrt{15-3x}-1=x$$

Перенесём 1 вправо:
$$\sqrt{15-3x}=x+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$15-3x=(x+1)^2$$
$$15-3x=x^2+2x+1$$
$$x^2+5x-14=0$$
$$D=25+56=81$$
$$x_1=-7,\quad x_2=2$$

По ОДЗ: $$15-3x\ge 0,\ x+1\ge 0$$. Подходит только $$x=2$$.
$$x-\sqrt{2x^2+x-21}=3$$

Перенесём корень:
$$x-3=\sqrt{2x^2+x-21}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$(x-3)^2=2x^2+x-21$$
$$x^2-6x+9=2x^2+x-21$$
$$x^2+7x-30=0$$
$$D=49+120=169$$
$$x_1=-10,\quad x_2=3$$

Проверка: $$x=-10$$ не подходит, $$x=3$$ подходит.
$$x+2+\sqrt{8-3x-x^2}=0$$

Перенесём корень:
$$\sqrt{8-3x-x^2}=-(x+2)$$
Возведём обе части в квадрат:
$$8-3x-x^2=(x+2)^2$$
$$8-3x-x^2=x^2+4x+4$$
$$2x^2+7x-4=0$$
$$D=49+32=81$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac12$$

Проверка: $$x=-4$$ подходит, $$x=\frac12$$ не подходит.