Упр.11.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x+3)^(1/4)=(2x-3)^(1/4); 3) (x^2-25)^(1/5)=(2x+10)^(1/5);
2) корень из (4x-5)=корень из (1-x); 4) корень из (x^2-36)=корень из (2x-1).

1. $$\sqrt[4]{x+3}=\sqrt[4]{2x-3}$$

   Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает при $$t \ge 0$$, то можно возвести обе части в четвёртую степень:

   $$x+3=2x-3$$
   $$x=6$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$$
   $$2x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2}$$

   Значение $$x=6$$ подходит.

2. $$\sqrt{4x-5}=\sqrt{1-x}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$4x-5=1-x$$
   $$5x=6$$
   $$x=\frac{6}{5}$$

   Проверим ОДЗ:

   $$4x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{5}{4}$$
   $$1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$$

   Условия несовместны, значит решений нет.

3. $$\sqrt[5]{x^2-25}=\sqrt[5]{2x+10}$$

   Так как функция $$\sqrt[5]{t}$$ взаимно однозначна, получаем:

   $$x^2-25=2x+10$$
   $$x^2-2x-35=0$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-35)=144$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 12}{2}$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=7$$

4. $$\sqrt{x^2-36}=\sqrt{2x-1}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-36=2x-1$$
   $$x^2-2x-35=0$$
   $$D=144$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 12}{2}$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=7$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x^2-36 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 6$$
   $$2x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$$

   Из найденных корней подходит только $$x=7$$.

Ответ

1) $$6$$; 2) решений нет; 3) $$-5,\,7$$; 4) $$7$$.