Упр.11.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\sqrt[7]{2x-1}=\sqrt[7]{3-x}$$; 3) $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-3}$$; 2) $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2x}$$; 4) $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x^2+4x-16}$$.

1) $$\sqrt[7]{2x-1}=\sqrt[7]{3-x}$$

Так как функция $$\sqrt[7]{t}$$ определена при любых значениях $$t$$ и является взаимно однозначной, получаем:

$$2x-1=3-x$$

$$3x=4$$

$$x=\frac{4}{3}$$

Ответ: $$\frac{4}{3}$$.

2) $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2x}$$

Область допустимых значений:

$$2x-1\ge 0,\qquad 1-2x\ge 0$$

Отсюда:

$$x\ge \frac12,\qquad x\le \frac12$$

Значит, $$x=\frac12$$.

Проверка: при $$x=\frac12$$ обе части равны $$0$$.

Ответ: $$\frac12$$.

3) $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-3}$$

Область допустимых значений:

$$2x-1\ge 0,\qquad x-3\ge 0$$

То есть:

$$x\ge \frac12,\qquad x\ge 3$$

Следовательно, $$x\ge 3$$.

Возведём обе части в квадрат:

$$2x-1=x-3$$

$$x=-2$$

Но $$x=-2$$ не принадлежит ОДЗ, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

4) $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x^2+4x-16}$$

Область допустимых значений:

$$2x-1\ge 0,\qquad x^2+4x-16\ge 0$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2x-1=x^2+4x-16$$

$$x^2+2x-15=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$

$$x_1=-5,\qquad x_2=3$$

Проверим:

при $$x=-5$$ левая часть не имеет смысла;

при $$x=3$$ получаем $$\sqrt{2\cdot 3-1}=\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{3^2+4\cdot 3-16}=\sqrt{5}$$.

Значит, подходит только $$x=3$$.

Ответ: $$3$$.