Упр.11.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (2x-1)^(1/7)=(3-x)^(1/7); 3) корень из (2x-1)=корень из (x-3);
2) корень из (2x-1)=корень из (1-2x); 4) корень из (2x-1)=корень из (x^2+4x-16).

Подробный ответ

$$\sqrt[7]{2x-1}=\sqrt[7]{3-x}$$
Так как функция $$\sqrt[7]{\,\cdot\,}$$ взаимно однозначна, то
$$2x-1=3-x$$
$$3x=4$$
$$x=\frac{4}{3}$$
$$\sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x-1=1-2x$$
$$4x=2$$
$$x=\frac{1}{2}$$
Проверим область допустимых значений:
$$2x-1\ge 0,\quad 1-2x\ge 0$$
$$x\ge \frac{1}{2},\quad x\le \frac{1}{2}$$
Следовательно, $$x=\frac{1}{2}$$ подходит.
$$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-3}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x-1=x-3$$
$$x=-2$$
Проверим ОДЗ:
$$2x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{1}{2}$$
$$x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge 3$$
Число $$x=-2$$ не удовлетворяет ОДЗ, значит решений нет.
$$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x^2+4x-16}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x-1=x^2+4x-16$$
$$x^2+2x-15=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=3$$
Проверка:
при $$x=-5$$ левая часть не имеет смысла, а при $$x=3$$
$$\sqrt{2\cdot 3-1}=\sqrt{5},\quad \sqrt{3^2+4\cdot 3-16}=\sqrt{5}$$
Значит, $$x=3$$.