Упр.11.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции $$f(x)=\begin{cases}-x^2+1, & \text{если } x<1,\\x-1, & \text{если } x\geqslant 1.\end{cases}$$ Пользуясь построенным графиком, определите промежутки возрастания и убывания данной функции.

Построим график функции по частям.

При $$x<1$$ имеем $$y=-x^2+1$$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина: $$\left(0;1\right)$$.

При $$x\ge 1$$ имеем $$y=x-1$$ — прямая.

В точке $$x=1$$ обе части дают одно и то же значение:

$$-1^2+1=0,\qquad 1-1=0.$$

Значит, графики соединяются в точке $$\left(1;0\right)$$.

Теперь определим промежутки монотонности:

• на промежутке $$(-\infty;0]$$ функция возрастает, так как на ветви параболы слева от вершины значения $$y$$ увеличиваются;
• на промежутке $$[0;1]$$ функция убывает, так как на ветви параболы справа от вершины значения $$y$$ уменьшаются;
• на промежутке $$[1;+\infty)$$ функция возрастает, так как $$y=x-1$$ — возрастающая прямая.

Ответ: функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$.