Упр.11.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 11.23. Постройте график функции f(x)={(-x^2+1, если x < 1),(x-1, если x больше или равно 1). Пользуясь построенным графиком, определите промежутки возрастания и убывания данной функции.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -x^2+1, & x<1,\\ x-1, & x\ge 1. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x<1$$ имеем параболу $$y=-x^2+1$$, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке $$ (0;1) $$, поэтому на промежутке $$(-\infty;0]$$ функция возрастает, а на промежутке $$[0;1)$$ убывает.

2) При $$x\ge 1$$ имеем прямую $$y=x-1$$ с положительным коэффициентом при $$x$$, значит на этом промежутке функция возрастает.

В точке $$x=1$$ обе части дают одно и то же значение:

$$ -x^2+1\big|_{x=1}=0,\qquad x-1\big|_{x=1}=0. $$

Следовательно, графики соединяются в точке $$ (1;0) $$.

Итак, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, а убывает на $$[0;1]$$.