Упр.11.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из (x+2корень из (x-1))+корень из (x-2корень из (x-1))=6;
2) корень из (x+6+2корень из (x+5))-корень из (x+6-2корень из (x+5))=2.

1. Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6.$$

   Положим $$y=\sqrt{x-1}$$, тогда $$x=y^2+1$$ и $$y\ge 0$$.

   Подставим:

   $$\sqrt{y^2+1+2y}+\sqrt{y^2+1-2y}=6,$$

   $$\sqrt{(y+1)^2}+\sqrt{(y-1)^2}=6,$$

   $$|y+1|+|y-1|=6.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$y\ge 1$$, то

   $$|y+1|+|y-1|=(y+1)+(y-1)=2y,$$

   $$2y=6,\quad y=3.$$

   Если $$0\le y<1$$, то

   $$|y+1|+|y-1|=(y+1)-(y-1)=2,$$

   что не подходит.

   Значит, $$y=3$$. Тогда

   $$\sqrt{x-1}=3,\quad x-1=9,\quad x=10.$$

2. Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}}-\sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}}=2.$$

   Положим $$y=\sqrt{x+5}$$, тогда $$x=y^2-5$$ и $$y\ge 0$$.

   Подставим:

   $$\sqrt{y^2-5+6+2y}-\sqrt{y^2-5+6-2y}=2,$$

   $$\sqrt{y^2+2y+1}-\sqrt{y^2-2y+1}=2,$$

   $$|y+1|-|y-1|=2.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$y\ge 1$$, то

   $$|y+1|-|y-1|=(y+1)-(y-1)=2,$$

   то есть это верно при любом $$y\ge 1$$.

   Если $$0\le y<1$$, то

   $$|y+1|-|y-1|=(y+1)-(1-y)=2y,$$

   $$2y=2,\quad y=1,$$

   что уже входит в предыдущий случай.

   Если $$y<0$$, то решений нет, так как $$y=\sqrt{x+5}\ge 0$$.

   Значит, $$y\ge 1$$, то есть

   $$\sqrt{x+5}\ge 1,\quad x+5\ge 1,\quad x\ge -4.$$

Ответ

1) $$x=10$$; 2) $$x\in[-4;+\infty)$$.