Упр.11.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) x^2-4x-3корень из (x^2-4x+20)+10=0;
2) 2корень из (x^2-3x+11)=4+3x-x^2;
3) корень из (2x^2-6x+40)=x^2-3x+8;
4) 5x^2+10x+корень из (x^2+2x-15)=123.

Подробный ответ

$$x^2-4x-3\sqrt{x^2-4x+20}+10=0.$$
Обозначим
$$y=\sqrt{x^2-4x+20}.$$
Тогда
$$x^2-4x+20=y^2,$$
и уравнение принимает вид
$$y^2-3y-10=0.$$
Решаем:
$$D=3^2+4\cdot 10=49,$$
$$y_1=\frac{3-7}{2}=-2,\quad y_2=\frac{3+7}{2}=5.$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-4x+20}\ge 0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит. Значит,
$$\sqrt{x^2-4x+20}=5.$$
Тогда
$$x^2-4x+20=25,$$
$$x^2-4x-5=0,$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36,$$
$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\quad x_2=\frac{4+6}{2}=5.$$
$$2\sqrt{x^2-3x+11}=4+3x-x^2.$$
Обозначим
$$y=\sqrt{x^2-3x+11}.$$
Тогда
$$x^2-3x+11=y^2,$$
а правая часть равна
$$4+3x-x^2=15-y^2.$$
Получаем:
$$2y=15-y^2,$$
$$y^2+2y-15=0.$$
Решаем:
$$D=2^2+4\cdot 15=64,$$
$$y_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\quad y_2=\frac{-2+8}{2}=3.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=3$$. Тогда
$$\sqrt{x^2-3x+11}=3,$$
$$x^2-3x+11=9,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 2=1,$$
$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad x_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
$$\sqrt{2x^2-6x+40}=x^2-3x+8.$$
Обозначим
$$y=\sqrt{2x^2-6x+40}.$$
Тогда
$$2x^2-6x+40=y^2,$$
а правая часть уравнения:
$$x^2-3x+8=\frac{y^2-40}{2}+8.$$
Получаем
$$y=\frac{y^2-40}{2}+8,$$
$$2y=y^2-24,$$
$$y^2-2y-24=0.$$
Решаем:
$$D=2^2+4\cdot 24=100,$$
$$y_1=\frac{2-10}{2}=-4,\quad y_2=\frac{2+10}{2}=6.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=6$$. Тогда
$$\sqrt{2x^2-6x+40}=6,$$
$$2x^2-6x+40=36,$$
$$2x^2-6x+4=0,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 2=1,$$
$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad x_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
$$5x^2+10x+\sqrt{x^2+2x-15}=123.$$
Обозначим
$$y=\sqrt{x^2+2x-15}.$$
Тогда
$$x^2+2x=y^2+15,$$
значит
$$5x^2+10x=5y^2+75.$$
Подставим:
$$5y^2+75+y=123,$$
$$5y^2+y-48=0.$$
Решаем:
$$D=1^2+4\cdot 5\cdot 48=961,$$
$$y_1=\frac{-1-31}{10}=-\frac{16}{5},\quad y_2=\frac{-1+31}{10}=3.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=3$$. Тогда
$$\sqrt{x^2+2x-15}=3,$$
$$x^2+2x-15=9,$$
$$x^2+2x-24=0,$$
$$D=2^2+4\cdot 24=100,$$
$$x_1=\frac{-2-10}{2}=-6,\quad x_2=\frac{-2+10}{2}=4.$$