Упр.11.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) x-корень из x-12=0; 5) 1/(x^(1/3)+1)+2/(x^(1/3)+3)=1;
2) x^(2/3)+8=9x^(1/3); 6) (9-6x+x^2)^(1/6)+2(3-x)^(1/6)-8=0;
3) корень из x-2/корень из x=1; 7) x^2-x+4+корень из (x^2-x+4)=6;
4) корень из (x+5)-3(x+5)^(1/4)+2=0; 8) корень из ((3x+2)/(2x-3))+корень из ((2x-3)/(3x+2))=2,5.

Подробный ответ

$$x-\sqrt{x}-12=0.$$
Пусть $$y=\sqrt{x}$$, тогда $$x=y^2$$ и получаем:
$$y^2-y-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_1=\frac{1-7}{2}=-3,\quad y_2=\frac{1+7}{2}=4.$$
Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=4.$$ Тогда
$$x=4^2=16.$$
$$\sqrt[3]{x^2}+8=9\sqrt[3]{x}.$$
Пусть $$y=\sqrt[3]{x},$$ тогда $$\sqrt[3]{x^2}=y^2.$$ Получаем:
$$y^2-9y+8=0.$$
$$D=81-32=49,$$
$$y_1=\frac{9-7}{2}=1,\quad y_2=\frac{9+7}{2}=8.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x=1^3=1,\quad x=8^3=512.$$
$$\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}=1.$$
Пусть $$y=\sqrt{x},\ y>0,$$ тогда
$$y-\frac{2}{y}=1.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-2=y,$$
$$y^2-y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad y_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
Подходит только $$y=2,$$ значит
$$x=2^2=4.$$
$$\sqrt{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0.$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x+5},$$ тогда $$\sqrt{x+5}=y^2.$$ Получаем:
$$y^2-3y+2=0.$$
$$D=9-8=1,$$
$$y_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad y_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
Тогда:
$$\sqrt[4]{x+5}=1 \Rightarrow x+5=1 \Rightarrow x=-4,$$
$$\sqrt[4]{x+5}=2 \Rightarrow x+5=16 \Rightarrow x=11.$$
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}+1}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}+3}=1.$$
Пусть $$y=\sqrt[3]{x},$$ тогда
$$\frac{1}{y+1}+\frac{2}{y+3}=1.$$
Умножим на $$ (y+1)(y+3) $$:
$$y+3+2(y+1)=(y+1)(y+3).$$
$$3y+5=y^2+4y+3,$$
$$y^2+y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad y_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$
Тогда
$$x=(-2)^3=-8,\quad x=1^3=1.$$
$$\sqrt[6]{9-6x+x^2}+2\sqrt[6]{3-x}-8=0.$$
Заметим, что
$$9-6x+x^2=(3-x)^2.$$
Пусть $$y=\sqrt[6]{3-x},$$ тогда $$\sqrt[6]{9-6x+x^2}=y^2.$$ Получаем:
$$y^2+2y-8=0.$$
$$D=4+32=36,$$
$$y_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-2+6}{2}=2.$$
Так как $$y=\sqrt[6]{3-x}\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$ Тогда
$$\sqrt[6]{3-x}=2 \Rightarrow 3-x=64 \Rightarrow x=-61.$$
$$x^2-x+4+\sqrt{x^2-x+4}=6.$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2-x+4},$$ тогда $$y^2=x^2-x+4.$$ Получаем:
$$y^2+y-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\quad y_2=\frac{-1+5}{2}=2.$$
Так как $$y\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$ Тогда
$$x^2-x+4=4,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0.$$
Следовательно, $$x=0$$ или $$x=1.$$
$$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2{,}5.$$
Пусть
$$y=\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}},$$
тогда
$$\frac{1}{y}=\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}.$$
Получаем:
$$y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$2y$$:
$$2y^2-5y+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\quad y_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
1) Если $$y=\frac{1}{2},$$ то
$$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=\frac{1}{2},$$
$$\frac{3x+2}{2x-3}=\frac{1}{4},$$
$$4(3x+2)=2x-3,$$
$$12x+8=2x-3,$$
$$10x=-11,$$
$$x=-\frac{11}{10}.$$
2) Если $$y=2,$$ то
$$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=2,$$
$$\frac{3x+2}{2x-3}=4,$$
$$3x+2=4(2x-3),$$
$$3x+2=8x-12,$$
$$5x=14,$$
$$x=\frac{14}{5}.$$