Упр.11.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнения, используя метод замены переменной:

1. $$x-\sqrt{x}-12=0$$;
2. $$\frac{1}{\sqrt[3]{x}+1}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}+3}=1$$;
3. $$x^{\frac{2}{3}}+8=9x^{\frac{1}{3}}$$;
4. $$\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}=1$$;
5. $$\sqrt{x+5}-3(x+5)^{\frac{1}{4}}+2=0$$;
6. $$\left(9-6x+x^2\right)^{\frac{1}{6}}+2(3-x)^{\frac{1}{6}}-8=0$$;
7. $$x^2-x+4+\sqrt{x^2-x+4}=6$$;
8. $$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2{,}5$$.

1) Пусть $$y=\sqrt{x}.$$ Тогда $$x=y^2,$$ и уравнение принимает вид

$$y^2-y-12=0.$$

$$D=1+48=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}.$$

Получаем $$y_1=-3,$$ $$y_2=4.$$

Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=4.$$ Тогда

$$x=4^2=16.$$

Ответ: $$16.$$

2) Пусть $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$x=y^3,$$ и имеем

$$y^2-9y+8=0.$$

$$D=81-32=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}.$$

Отсюда $$y_1=1,$$ $$y_2=8.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x_1=1^3=1,\qquad x_2=8^3=512.$$

Ответ: $$1; 512.$$

3) Пусть $$y=\sqrt{x}.$$ Тогда

$$y-\frac{2}{y}=1.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-2=y,$$

$$y^2-y-2=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

Получаем $$y_1=-1,$$ $$y_2=2.$$

Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$ Тогда

$$x=2^2=4.$$

Ответ: $$4.$$

4) Пусть $$y=\sqrt[4]{x+5}.$$ Тогда $$\sqrt{x+5}=y^2,$$ и уравнение принимает вид

$$y^2-3y+2=0.$$

$$D=9-8=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}.$$

Отсюда $$y_1=1,$$ $$y_2=2.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{x+5}=1 \Rightarrow x+5=1 \Rightarrow x=-4,$$

$$\sqrt[4]{x+5}=2 \Rightarrow x+5=16 \Rightarrow x=11.$$

Ответ: $$-4; 11.$$

5) Пусть $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда

$$\frac{1}{y+1}+\frac{2}{y+3}=1.$$

Умножим на $$\left(y+1\right)\left(y+3\right):$$

$$\left(y+3\right)+2\left(y+1\right)=\left(y+1\right)\left(y+3\right).$$

$$3y+5=y^2+4y+3,$$

$$y^2+y-2=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Получаем $$y_1=-2,$$ $$y_2=1.$$

Тогда

$$x_1=(-2)^3=-8,\qquad x_2=1^3=1.$$

Ответ: $$-8; 1.$$

6) Пусть $$y=\sqrt[6]{3-x}.$$ Тогда

$$\sqrt[6]{9-6x+x^2}=\sqrt[6]{(3-x)^2}=y^2,$$

и уравнение принимает вид

$$y^2+2y-8=0.$$

$$D=4+32=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$

Отсюда $$y_1=-4,$$ $$y_2=2.$$

Так как $$y=\sqrt[6]{3-x}\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$ Тогда

$$\sqrt[6]{3-x}=2 \Rightarrow 3-x=64 \Rightarrow x=-61.$$

Ответ: $$-61.$$

7) Пусть $$y=\sqrt{x^2-x+4}.$$ Тогда

$$y^2+y-6=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$

Получаем $$y_1=-3,$$ $$y_2=2.$$

Так как $$y=\sqrt{x^2-x+4}\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$ Тогда

$$x^2-x+4=4,$$

$$x^2-x=0,$$

$$x(x-1)=0.$$

Следовательно,

$$x=0 \text{ или } x=1.$$

Ответ: $$0; 1.$$

8) Пусть

$$y=\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=\frac{1}{y},$$

и уравнение принимает вид

$$y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2y$$:

$$2y^2-5y+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем $$y_1=\frac{1}{2},$$ $$y_2=2.$$

1) Если $$y=\frac{1}{2},$$ то

$$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=\frac{1}{2},$$

$$\frac{3x+2}{2x-3}=\frac{1}{4},$$

$$4(3x+2)=2x-3,$$

$$12x+8=2x-3,$$

$$10x=-11,$$

$$x=-\frac{11}{10}.$$

2) Если $$y=2,$$ то

$$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=2,$$

$$\frac{3x+2}{2x-3}=4,$$

$$3x+2=4(2x-3),$$

$$3x+2=8x-12,$$

$$5x=14,$$

$$x=\frac{14}{5}.$$

Ответ: $$-\frac{11}{10}; \frac{14}{5}.$$