Упр.11.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) $$x^2-5x+16-3\sqrt{x^2-5x+20}=0$$;
2) $$x^2+4-5\sqrt{x^2-2}=0$$;
3) $$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$$;
4) $$\sqrt{3x^2-9x-26}=12+3x-x^2$$;
5) $$2x^2+6x-3\sqrt{x^2+3x-3}=5$$;
6) $$\sqrt{x\cdot x^{1/5}}+\sqrt[5]{x\sqrt{x}}=72$$.
1) Пусть $$y=\sqrt{x^2-5x+20}.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$y^2-3y-4=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=3^2+4\cdot 4=25,$$
$$y_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{3+5}{2}=4.$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-5x+20}\ge 0,$$ то подходит только $$y=4.$$ Тогда
$$\sqrt{x^2-5x+20}=4,$$
$$x^2-5x+20=16,$$
$$x^2-5x+4=0,$$
$$D=5^2-4\cdot 4=9,$$
$$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+3}{2}=4.$$
Ответ: $$1; 4.$$
2) Пусть $$y=\sqrt{x^2-2}.$$ Тогда
$$y^2-5y+6=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 6=1,$$
$$y_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad y_2=\frac{5+1}{2}=3.$$
1) $$\sqrt{x^2-2}=2,$$
$$x^2-2=4,\qquad x^2=6,\qquad x=\pm\sqrt6.$$
2) $$\sqrt{x^2-2}=3,$$
$$x^2-2=9,\qquad x^2=11,\qquad x=\pm\sqrt{11}.$$
Ответ: $$\pm\sqrt6;\ \pm\sqrt{11}.$$
3) Пусть $$y=\sqrt{x^2-3x+5}.$$ Тогда
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=1^2+4\cdot 12=49,$$
$$y_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=3.$$ Тогда
$$\sqrt{x^2-3x+5}=3,$$
$$x^2-3x+5=9,$$
$$x^2-3x-4=0,$$
$$D=3^2+4\cdot 4=25,$$
$$x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{3+5}{2}=4.$$
Ответ: $$-1;\ 4.$$
4) Пусть $$y=\sqrt{3x^2-9x-26}.$$ Тогда из уравнения
$$\sqrt{3x^2-9x-26}=12+3x-x^2$$
получаем
$$y=12+3x-x^2.$$
Из определения $$y$$ имеем
$$3x^2-9x-26=y^2.$$
Подставим $$x^2-3x=12-y$$ в выражение для $$3x^2-9x-26$$:
$$3(x^2-3x)-26=y^2,$$
$$3(12-y)-26=y^2,$$
$$y^2+3y-10=0.$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49,$$
$$y_1=\frac{-3-7}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-3+7}{2}=2.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=2.$$ Тогда
$$\sqrt{3x^2-9x-26}=2,$$
$$3x^2-9x-26=4,$$
$$3x^2-9x-30=0,$$
$$x^2-3x-10=0,$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49,$$
$$x_1=\frac{3-7}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{3+7}{2}=5.$$
Ответ: $$-2;\ 5.$$
5) Пусть $$y=\sqrt{x^2+3x-3}.$$ Тогда
$$2x^2+6x-3y=5.$$
Из равенства $$x^2+3x=y^2+3$$ получаем
$$2x^2+6x=2y^2+6.$$
Подставим:
$$2y^2+6-3y=5,$$
$$2y^2-3y+1=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$
$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$
1) $$\sqrt{x^2+3x-3}=\frac12,$$
$$x^2+3x-3=\frac14,$$
$$4x^2+12x-13=0,$$
$$D=12^2-4\cdot 4\cdot(-13)=352,$$
$$x=\frac{-12\pm\sqrt{352}}{8}=\frac{-3\pm\sqrt{22}}{2}.$$
2) $$\sqrt{x^2+3x-3}=1,$$
$$x^2+3x-3=1,$$
$$x^2+3x-4=0,$$
$$D=3^2+4\cdot 4=25,$$
$$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-3+5}{2}=1.$$
Ответ: $$\frac{-3\pm\sqrt{22}}{2};\ -4;\ 1.$$
6) Обозначим $$y=\sqrt[10]{x^3}.$$ Тогда уравнение сводится к виду
$$y^2+y-72=0.$$
$$D=1^2+4\cdot 72=289,$$
$$y_1=\frac{-1-17}{2}=-9,\qquad y_2=\frac{-1+17}{2}=8.$$
Так как $$y=\sqrt[10]{x^3}\ge 0,$$ берём $$y=8.$$ Тогда
$$\sqrt[10]{x^3}=8,$$
$$x^3=8^{10},$$
$$x=\sqrt[3]{8^{10}}=2^{10}=1024.$$
Ответ: $$1024.$$
