Упр.11.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) x^2-5x+16-3корень из (x^2-5x+20)=0;
2) x^2+4-5корень из (x^2-2)=0;
3) корень из (x^2-3x+5)+x^2=3x+7;
4) корень из (3x^2-9x-26)=12+3x-x^2;
5) 2x^2+6x-3корень из (x^2+3x-3)=5;
6) корень из (xx^(1/5))+(xкорень из x)^(1/5)=72.

Подробный ответ

$$x^2-5x+16-3\sqrt{x^2-5x+20}=0$$
$$\sqrt{(x^2-5x+20)^2}-3\sqrt{x^2-5x+20}-4=0$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2-5x+20}$$, тогда
$$y^2-3y-4=0$$
$$D=3^2+4\cdot 4=25$$
$$y_1=\frac{3-5}{2}=-1,\quad y_2=\frac{3+5}{2}=4$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-5x+20}\ge 0$$, значение $$y=-1$$ не подходит.
Вернемся к замене:
$$\sqrt{x^2-5x+20}=4$$
$$x^2-5x+20=16$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\quad x_2=\frac{5+3}{2}=4$$
$$x^2+4-5\sqrt{x^2-2}=0$$
$$\sqrt{(x^2-2)^2}-5\sqrt{x^2-2}+6=0$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2-2}$$, тогда
$$y^2-5y+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$y_1=2,\quad y_2=3$$
1) $$\sqrt{x^2-2}=2$$
$$x^2-2=4,\quad x^2=6,\quad x=\pm\sqrt6$$
2) $$\sqrt{x^2-2}=3$$
$$x^2-2=9,\quad x^2=11,\quad x=\pm\sqrt{11}$$
$$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$$
$$\sqrt{(x^2-3x+5)^2}+\sqrt{x^2-3x+5}-12=0$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2-3x+5}$$, тогда
$$y^2+y-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$y_1=-4,\quad y_2=3$$
Так как $$y\ge 0$$, берем $$y=3$$.
$$\sqrt{x^2-3x+5}=3$$
$$x^2-3x+5=9$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=25$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4$$
$$\sqrt{3x^2-9x-26}=12+3x-x^2$$
$$\sqrt{3x^2-9x-26}+(x^2-3x)-12=0$$
Пусть $$y=\sqrt{3x^2-9x-26}$$, тогда
$$3x^2-9x=y^2+26$$
$$x^2-3x=\frac{y^2+26}{3}$$
Подставим в уравнение:
$$y+\frac{y^2+26}{3}-12=0$$
$$3y+y^2+26-36=0$$
$$y^2+3y-10=0$$
$$D=49$$
$$y_1=-5,\quad y_2=2$$
Так как $$y\ge 0$$, берем $$y=2$$.
$$\sqrt{3x^2-9x-26}=2$$
$$3x^2-9x-26=4$$
$$3x^2-9x-30=0$$
$$x^2-3x-10=0$$
$$D=49$$
$$x_1=-2,\quad x_2=5$$
$$2x^2+6x-3\sqrt{x^2+3x-3}=5$$
$$2x^2+6x=3\sqrt{x^2+3x-3}+5$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2+3x-3}$$, тогда
$$x^2+3x=y^2+3$$
$$2x^2+6x=2y^2+6$$
Подставим:
$$2y^2+6-3y=5$$
$$2y^2-3y+1=0$$
$$D=1$$
$$y_1=\frac12,\quad y_2=1$$
1) $$\sqrt{x^2+3x-3}=\frac12$$
$$x^2+3x-3=\frac14$$
$$4x^2+12x-13=0$$
$$D=352$$
$$x=\frac{-12\pm\sqrt{352}}{8}=\frac{-3\pm\sqrt{22}}{2}$$
2) $$\sqrt{x^2+3x-3}=1$$
$$x^2+3x-3=1$$
$$x^2+3x-4=0$$
$$D=25$$
$$x_1=-4,\quad x_2=1$$
$$\sqrt{x\sqrt[5]{x}}+\sqrt[5]{x\sqrt{x}}=72$$
$$\sqrt[10]{x^5\cdot x}+\sqrt[10]{x^2\cdot x}=72$$
$$\sqrt[10]{x^6}+\sqrt[10]{x^3}=72$$
Пусть $$y=\sqrt[10]{x^3}$$, тогда
$$y^2+y-72=0$$
$$D=1+288=289$$
$$y_1=-9,\quad y_2=8$$
Так как $$y\ge 0$$, берем $$y=8$$.
$$\sqrt[10]{x^3}=8$$
$$x^3=8^{10}=2^{30}$$
$$x=2^{10}=1024$$