Упр.11.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+7}=\sqrt{8-x}$$;
   2) $$\sqrt{6x-11}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}$$.

1) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+7}=\sqrt{8-x}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+2+2\sqrt{(x+2)(3x+7)}+3x+7=8-x.$$

$$2\sqrt{(x+2)(3x+7)}=-1-5x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$4(x+2)(3x+7)=(1+5x)^2.$$

$$4(3x^2+13x+14)=1+10x+25x^2.$$

$$12x^2+52x+56=1+10x+25x^2.$$

$$13x^2-42x-55=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-42)^2-4\cdot 13\cdot(-55)=1764+2860=4624,$$

$$x=\frac{42\pm 68}{26}.$$

Тогда

$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{55}{13}.$$

Проверка:

$$\sqrt{-1+2}+\sqrt{3\cdot(-1)+7}=\sqrt{8-(-1)}\Rightarrow 1+2=3,$$

$$\sqrt{\frac{55}{13}+2}+\sqrt{3\cdot\frac{55}{13}+7}=\sqrt{8-\frac{55}{13}}$$

не выполняется.

Значит, подходит только $$x=-1.$$

2) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{6x-11}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}.$$

Область допустимых значений:

$$6x-11\ge 0,\quad x-2\ge 0,\quad x+3\ge 0.$$

Отсюда $$x\ge 2.$$

Перенесём корень вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{6x-11}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}.$$

$$6x-11=x-2+x+3+2\sqrt{(x-2)(x+3)}.$$

$$4x-12=2\sqrt{(x-2)(x+3)}.$$

$$2x-6=\sqrt{(x-2)(x+3)}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$4x^2-24x+36=(x-2)(x+3)=x^2+x-6.$$

$$3x^2-25x+42=0.$$

$$D=25^2-4\cdot 3\cdot 42=625-504=121.$$

$$x=\frac{25\pm 11}{6}.$$

Получаем

$$x_1=\frac{7}{3},\qquad x_2=6.$$

Проверка показывает, что $$x=\frac{7}{3}$$ не подходит, а при $$x=6$$ равенство верно.

Значит, решение уравнения: $$x=6.$$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$6$$.