Упр.11.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из (x+2)+корень из (3x+7)=корень из (8-x); 2) корень из (6x-11)-корень из (x-2)=корень из (x+3).

1. $$\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+7}=\sqrt{8-x}$$

   ОДЗ: $$x+2\ge 0,\;3x+7\ge 0,\;8-x\ge 0,$$ значит $$x\ge -2,\;x\le 8.$$

   Возведём уравнение в квадрат:

   $$x+2+2\sqrt{(x+2)(3x+7)}+3x+7=8-x$$

   $$2\sqrt{3x^2+13x+14}=-5x-1$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$-5x-1\ge 0,$$ то есть $$x\le -\frac15.$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$4(3x^2+13x+14)=(5x+1)^2$$

   $$12x^2+52x+56=25x^2+10x+1$$

   $$13x^2-42x-55=0$$

   $$D=42^2+4\cdot 13\cdot 55=4624$$

   $$x_1=\frac{42-68}{26}=-1,\qquad x_2=\frac{42+68}{26}=\frac{55}{13}$$

   С учётом ОДЗ и условия $$x\le -\frac15$$ подходит только $$x=-1.$$

2. $$\sqrt{6x-11}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}$$

   ОДЗ: $$6x-11\ge 0,\;x-2\ge 0,\;x+3\ge 0,$$ значит $$x\ge 2.$$

   Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:

   $$\sqrt{6x-11}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}$$

   $$6x-11=x-2+x+3+2\sqrt{(x-2)(x+3)}$$

   $$4x-12=2\sqrt{x^2+x-6}$$

   $$2x-6=\sqrt{x^2+x-6}$$

   Так как правая часть неотрицательна, то $$2x-6\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$

   Возведём в квадрат ещё раз:

   $$4x^2-24x+36=x^2+x-6$$

   $$3x^2-25x+42=0$$

   $$D=25^2-4\cdot 3\cdot 42=121$$

   $$x_1=\frac{25-11}{6}=\frac73,\qquad x_2=\frac{25+11}{6}=6$$

   С учётом условия $$x\ge 3$$ подходит только $$x=6.$$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$6$$.