Упр.11.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=2\sqrt{x}$$;
   3) $$2\sqrt{3x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x-9}$$;
   2) $$\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}$$.

1) $$\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=2\sqrt{x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2x+1+2\sqrt{(2x+1)(x-3)}+x-3=4x$$

$$2\sqrt{2x^2-5x-3}=x+2$$

$$4(2x^2-5x-3)=(x+2)^2$$

$$8x^2-20x-12=x^2+4x+4$$

$$7x^2-24x-16=0$$

$$D=24^2+4\cdot 7\cdot 16=1024$$

$$x_1=\frac{24-32}{14}=-\frac47,\qquad x_2=\frac{24+32}{14}=4$$

Проверка показывает, что подходит только $$x=4$$.

2) $$\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$5x-1-2\sqrt{(5x-1)(3x-2)}+3x-2=x-1$$

$$-2\sqrt{15x^2-11x+2}=2-7x$$

$$4(15x^2-11x+2)=(2-7x)^2$$

$$60x^2-44x+8=4-28x+49x^2$$

$$11x^2-16x+4=0$$

$$D=16^2-4\cdot 11\cdot 4=80$$

$$x=\frac{16\pm\sqrt{80}}{22}=\frac{8\pm 2\sqrt5}{11}$$

Проверка показывает, что оба корня не подходят, поэтому решений нет.

3) $$2\sqrt{3x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x-9}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4(3x-1)-4\sqrt{(3x-1)(x-1)}+(x-1)=x-9$$

$$-4\sqrt{3x^2-4x+1}=-12x-4$$

$$\sqrt{3x^2-4x+1}=3x+1$$

$$3x^2-4x+1=9x^2+6x+1$$

$$6x^2+10x=0$$

$$2x(3x+5)=0$$

$$x_1=-\frac53,\qquad x_2=0$$

Но оба значения не удовлетворяют области определения: $$x-9\ge 0$$, то есть $$x\ge 9$$. Следовательно, корней нет.

Ответ: 1) $$4$$; 2) корней нет; 3) корней нет.