Упр.11.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) корень из (2x+1)+корень из (x-3)=2корень из x; 3) 2корень из (3x-1)-корень из (x-1)=корень из (x-9).
2) корень из (5x-1)-корень из (3x-2)=корень из (x-1);

Подробный ответ

$$\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=2\sqrt{x}$$
ОДЗ: $$x-3\ge 0$$, значит $$x\ge 3$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+1+2\sqrt{(2x+1)(x-3)}+x-3=4x$$
$$2\sqrt{2x^2-5x-3}=x+2$$
Снова возведём в квадрат:
$$4(2x^2-5x-3)=(x+2)^2$$
$$8x^2-20x-12=x^2+4x+4$$
$$7x^2-24x-16=0$$
$$D=24^2+4\cdot 7\cdot 16=1024$$
$$x_1=\frac{24-32}{14}=-\frac47,\qquad x_2=\frac{24+32}{14}=4$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.
$$\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}$$
ОДЗ: $$x-1\ge 0$$, $$3x-2\ge 0$$, $$5x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$.
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$5x-1-2\sqrt{(5x-1)(3x-2)}+3x-2=x-1$$
$$-2\sqrt{15x^2-13x+2}=2-7x$$
$$4(15x^2-13x+2)=(2-7x)^2$$
$$60x^2-52x+8=4-28x+49x^2$$
$$11x^2-24x+4=0$$
$$D=24^2-4\cdot 11\cdot 4=400$$
$$x_1=\frac{24-20}{22}=\frac{2}{11},\qquad x_2=\frac{24+20}{22}=2$$
Проверка:
при $$x=\frac{2}{11}$$ левая часть не определена по ОДЗ, а при $$x=2$$
$$\sqrt{5\cdot 2-1}-\sqrt{3\cdot 2-2}=\sqrt{2-1}$$
$$3-2=1$$
Равенство верно.
$$2\sqrt{3x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x-9}$$
ОДЗ: $$x-9\ge 0$$, значит $$x\ge 9$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$4(3x-1)-4\sqrt{(3x-1)(x-1)}+(x-1)=x-9$$
$$-4\sqrt{3x^2-4x+1}=-12x-4$$
$$\sqrt{3x^2-4x+1}=3x+1$$
Возведём в квадрат:
$$3x^2-4x+1=9x^2+6x+1$$
$$6x^2+10x=0$$
$$2x(3x+5)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-\frac53$$
Оба значения не удовлетворяют ОДЗ $$x\ge 9$$, поэтому корней нет.