Упр.11.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{x-5}+\sqrt{10-x}=3$$
2. $$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=1$$
3. $$\sqrt{x-7}+\sqrt{x-1}=4$$
4. $$\sqrt{13-4x}+\sqrt{x+3}=5$$

1) $$\sqrt{x-5}+\sqrt{10-x}=3$$

Возведём в квадрат:

$$x-5+2\sqrt{(x-5)(10-x)}+10-x=9$$

$$2\sqrt{(x-5)(10-x)}=4$$

$$\sqrt{(x-5)(10-x)}=2$$

$$(x-5)(10-x)=4$$

$$-x^2+15x-50=4$$

$$x^2-15x+54=0$$

$$D=15^2-4\cdot 54=225-216=9$$

$$x_{1,2}=\frac{15\pm 3}{2}$$

$$x_1=6,\quad x_2=9$$

Проверка:

$$\sqrt{6-5}+\sqrt{10-6}=1+2=3$$

$$\sqrt{9-5}+\sqrt{10-9}=2+1=3$$

Оба корня подходят.

2) $$\sqrt{x-7}+\sqrt{x-1}=4$$

Возведём в квадрат:

$$x-7+2\sqrt{(x-7)(x-1)}+x-1=16$$

$$2\sqrt{(x-7)(x-1)}=24-2x$$

$$\sqrt{(x-7)(x-1)}=12-x$$

Теперь возведём в квадрат ещё раз:

$$(x-7)(x-1)=(12-x)^2$$

$$x^2-8x+7=x^2-24x+144$$

$$16x=137$$

$$x=\frac{137}{16}$$

Проверка показывает, что это значение подходит.

3) $$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=1$$

Возведём в квадрат:

$$1-x+2\sqrt{(1-x)(1+x)}+1+x=1$$

$$2+2\sqrt{1-x^2}=1$$

$$2\sqrt{1-x^2}=-1$$

Левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, решений нет.

4) $$\sqrt{13-4x}+\sqrt{x+3}=5$$

Возведём в квадрат:

$$13-4x+2\sqrt{(13-4x)(x+3)}+x+3=25$$

$$2\sqrt{(13-4x)(x+3)}=9+3x$$

$$4(13-4x)(x+3)=(9+3x)^2$$

$$4(13x+39-4x^2-12x)=81+54x+9x^2$$

$$4x+156-16x^2=81+54x+9x^2$$

$$25x^2+50x-75=0$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=1$$

Проверка:

$$\sqrt{13-4(-3)}+\sqrt{-3+3}=5+0=5$$

$$\sqrt{13-4\cdot 1}+\sqrt{1+3}=3+2=5$$

Оба корня подходят.

Ответ: 1) $$6,\,9$$; 2) $$\frac{137}{16}$$; 3) решений нет; 4) $$-3,\,1$$.