Упр.11.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) корень из (x-5)+корень из (10-x)=3; 3) корень из (1-x)+корень из (1+x)=1;
2) корень из (x-7)+корень из (x-1)=4; 4) корень из (13-4x)+корень из (x+3)=5.

Подробный ответ

$$\sqrt{x-5}+\sqrt{10-x}=3$$
ОДЗ: $$5\le x\le 10$$.
Возведём в квадрат:
$$\begin{aligned} x-5+2\sqrt{(x-5)(10-x)}+10-x&=9 \\ 2\sqrt{(x-5)(10-x)}&=4 \\ \sqrt{(x-5)(10-x)}&=2 \end{aligned}$$
Снова возведём в квадрат:
$$\begin{aligned} (x-5)(10-x)&=4 \\ -x^2+15x-50&=4 \\ x^2-15x+54&=0 \end{aligned}$$
$$D=15^2-4\cdot 54=225-216=9$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 3}{2}$$
$$x_1=6,\quad x_2=9$$
Проверка показывает, что оба корня подходят.
$$\sqrt{x-7}+\sqrt{x-1}=4$$
ОДЗ: $$x\ge 7$$.
Возведём в квадрат:
$$\begin{aligned} x-7+2\sqrt{(x-7)(x-1)}+x-1&=16 \\ 2\sqrt{(x-7)(x-1)}&=24-2x \\ \sqrt{(x-7)(x-1)}&=12-x \end{aligned}$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$12-x\ge 0$$, значит $$7\le x\le 12$$.
Возведём в квадрат:
$$\begin{aligned} (x-7)(x-1)&=(12-x)^2 \\ x^2-8x+7&=x^2-24x+144 \\ 16x&=137 \\ x&=\frac{137}{16} \end{aligned}$$
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
$$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=1$$
ОДЗ: $$-1\le x\le 1$$.
Возведём в квадрат:
$$\begin{aligned} 1-x+2\sqrt{(1-x)(1+x)}+1+x&=1 \\ 2+2\sqrt{1-x^2}&=1 \\ 2\sqrt{1-x^2}&=-1 \end{aligned}$$
Левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, значит уравнение решений не имеет.
$$\sqrt{13-4x}+\sqrt{x+3}=5$$
ОДЗ: $$13-4x\ge 0,\ x+3\ge 0$$, то есть $$-\!3\le x\le \frac{13}{4}$$.
Возведём в квадрат:
$$\begin{aligned} 13-4x+2\sqrt{(13-4x)(x+3)}+x+3&=25 \\ 2\sqrt{(13-4x)(x+3)}&=9+3x \end{aligned}$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$9+3x\ge 0$$, что на ОДЗ выполняется.
Возведём в квадрат:
$$\begin{aligned} 4(13-4x)(x+3)&=(9+3x)^2 \\ 4(13x+39-4x^2-12x)&=81+54x+9x^2 \\ 4x+156-16x^2&=81+54x+9x^2 \\ 25x^2+50x-75&=0 \\ x^2+2x-3&=0 \end{aligned}$$
$$D=2^2+12=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$
Оба корня подходят по проверке.