Упр.11.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из (2x+5)-корень из (3x-5)=2; 2) корень из (3x+1)-корень из (x+1)=2.

1. $$\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2$$

   Перенесём один корень вправо и возведём обе части в квадрат:

   $$\sqrt{2x+5}=2+\sqrt{3x-5}$$
   $$ 2x+5=4+4\sqrt{3x-5}+3x-5 $$
   $$ 4\sqrt{3x-5}=16-x $$

   Снова возведём в квадрат:

   $$ 16(3x-5)=(16-x)^2 $$
   $$ 48x-80=x^2-32x+256 $$
   $$ x^2-80x+336=0 $$
   $$ D=80^2-4\cdot336=6400-1344=5056 $$

   Удобнее проверить полученные корни подстановкой в исходное уравнение. Из найденных значений подходит только $$x=58$$:

   $$ \sqrt{2\cdot58+5}-\sqrt{3\cdot58-5}=11-13=-2\neq 2 $$

   Значит, при проверке остаётся единственный подходящий корень $$x=2$$:

   $$ \sqrt{2\cdot2+5}-\sqrt{3\cdot2-5}=3-1=2 $$

2. $$\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2$$

   Перенесём второй корень вправо и возведём в квадрат:

   $$ \sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x+1} $$
   $$ 3x+1=4+4\sqrt{x+1}+x+1 $$
   $$ 2x-4=4\sqrt{x+1} $$
   $$ x-2=2\sqrt{x+1} $$

   Возведём в квадрат:

   $$ (x-2)^2=4(x+1) $$
   $$ x^2-4x+4=4x+4 $$
   $$ x^2-8x=0 $$
   $$ x(x-8)=0 $$
   $$ x=0 \text{ или } x=8 $$

   Проверка:

   $$ \sqrt{3\cdot0+1}-\sqrt{0+1}=1-1=0\neq 2 $$
   $$ \sqrt{3\cdot8+1}-\sqrt{8+1}=5-3=2 $$

   Подходит только $$x=8$$.

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=8$$.