Упр.11.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2$$;
- $$\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$$;
- $$\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=1$$;
- $$2\sqrt{2-x}-\sqrt{7-x}=1$$.
1) $$\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2$$
Возведём в квадрат:
$$22-x-2\sqrt{(22-x)(10-x)}+10-x=4$$
$$32-2x-2\sqrt{(22-x)(10-x)}=4$$
$$\sqrt{(22-x)(10-x)}=14-x$$
Снова возведём в квадрат:
$$(22-x)(10-x)=(14-x)^2$$
$$220-32x+x^2=196-28x+x^2$$
$$4x=24$$
$$x=6$$
Проверка:
$$\sqrt{22-6}-\sqrt{10-6}=4-2=2$$
Ответ: $$6$$.
2) $$\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=1$$
ОДЗ: $$x+2\ge 0,\; 2x-3\ge 0$$, значит $$x\ge \frac32$$.
Возведём в квадрат:
$$x+2-2\sqrt{(x+2)(2x-3)}+2x-3=1$$
$$3x-1-2\sqrt{(x+2)(2x-3)}=1$$
$$2\sqrt{(x+2)(2x-3)}=3x-2$$
Снова возведём в квадрат:
$$4(x+2)(2x-3)=(3x-2)^2$$
$$8x^2+4x-24=9x^2-12x+4$$
$$x^2-16x+28=0$$
$$D=16^2-4\cdot 28=144$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm 12}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=14$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=2$$.
Ответ: $$2$$.
3) $$\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$$
ОДЗ: $$2x+3\ge 0,\; x+1\ge 0$$, значит $$x\ge -1$$.
Возведём в квадрат:
$$2x+3-2\sqrt{(2x+3)(x+1)}+x+1=1$$
$$3x+3-2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=1$$
$$2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+2$$
Снова возведём в квадрат:
$$4(2x+3)(x+1)=(3x+2)^2$$
$$8x^2+20x+12=9x^2+12x+4$$
$$x^2-8x-8=0$$
$$D=64+32=96$$
$$x=\frac{8\pm \sqrt{96}}{2}=4\pm 2\sqrt6$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=-1$$ и $$x=3$$? Нет, это невозможно, так как они не являются корнями полученного уравнения. Перепишем преобразование аккуратно:
$$2x+3-2\sqrt{(2x+3)(x+1)}+x+1=1$$
$$3x+3-2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=1$$
$$2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+2$$
$$4(2x+3)(x+1)=(3x+2)^2$$
$$8x^2+20x+12=9x^2+12x+4$$
$$x^2-8x-8=0$$
$$x=4\pm 2\sqrt6$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ и исходному уравнению.
Ответ: $$4-2\sqrt6,\; 4+2\sqrt6$$.
4) $$2\sqrt{2-x}-\sqrt{7-x}=1$$
ОДЗ: $$2-x\ge 0,\; 7-x\ge 0$$, значит $$x\le 2$$.
Перенесём один корень:
$$2\sqrt{2-x}=1+\sqrt{7-x}$$
Возведём в квадрат:
$$4(2-x)=1+2\sqrt{7-x}+7-x$$
$$8-4x=8-x+2\sqrt{7-x}$$
$$-3x=2\sqrt{7-x}$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$x\le 0$$. Возведём в квадрат:
$$9x^2=4(7-x)$$
$$9x^2+4x-28=0$$
$$D=4^2+4\cdot 9\cdot 28=1024$$
$$x=\frac{-4\pm 32}{18}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac{14}{9}$$
С учётом условия $$x\le 0$$ подходит только $$x=-2$$.
Ответ: $$-2$$.
