Упр.11.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) корень из (22-x)-корень из (10-x)=2; 3) корень из (2x+3)-корень из (x+1)=1;
2) корень из (x+2)-корень из (2x-3)=1; 4) 2корень из (2-x)-корень из (7-x)=1.

Подробный ответ

$$\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2$$

Обозначим $$a=\sqrt{22-x}$$, $$b=\sqrt{10-x}$$. Тогда
$$a-b=2.$$
Возведём в квадрат:
$$ 22-x-2\sqrt{(22-x)(10-x)}+10-x=4 $$
$$ 32-2x-2\sqrt{(22-x)(10-x)}=4 $$
$$ \sqrt{(22-x)(10-x)}=14-x. $$
Снова возведём в квадрат:
$$ (22-x)(10-x)=(14-x)^2 $$
$$ 220-32x+x^2=196-28x+x^2 $$
$$ 4x=24,\quad x=6. $$
Проверка:
$$ \sqrt{22-6}-\sqrt{10-6}=4-2=2. $$
$$\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=1$$

Возведём в квадрат:
$$ x+2-2\sqrt{(x+2)(2x-3)}+2x-3=1 $$
$$ 3x-1-2\sqrt{(x+2)(2x-3)}=1 $$
$$ 2\sqrt{(x+2)(2x-3)}=3x-2. $$
Снова возведём в квадрат:
$$ 4(x+2)(2x-3)=(3x-2)^2 $$
$$ 4(2x^2+x-6)=9x^2-12x+4 $$
$$ 8x^2+4x-24=9x^2-12x+4 $$
$$ x^2-16x+28=0. $$
$$ D=16^2-4\cdot 28=144 $$
$$ x_{1,2}=\frac{16\pm 12}{2} $$
$$ x_1=2,\quad x_2=14. $$
Проверка:
$$ \sqrt{2+2}-\sqrt{2\cdot 2-3}=2-1=1, $$
$$ \sqrt{14+2}-\sqrt{2\cdot 14-3}=4-5=-1. $$
Подходит только $$x=2$$.
$$\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$$

Возведём в квадрат:
$$ 2x+3-2\sqrt{(2x+3)(x+1)}+x+1=1 $$
$$ 3x+3-2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=1 $$
$$ 2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+2. $$
Снова возведём в квадрат:
$$ 4(2x+3)(x+1)=(3x+2)^2 $$
$$ 4(2x^2+5x+3)=9x^2+12x+4 $$
$$ 8x^2+20x+12=9x^2+12x+4 $$
$$ x^2-8x-8=0. $$
$$ D=64+32=96 $$
$$ x=\frac{8\pm \sqrt{96}}{2}=4\pm 2\sqrt{6}. $$
Проверка показывает, что подходит только
$$x=4+2\sqrt{6}.$$
$$2\sqrt{2-x}-\sqrt{7-x}=1$$

Перенесём один корень:
$$ 2\sqrt{2-x}=1+\sqrt{7-x}. $$
Возведём в квадрат:
$$ 4(2-x)=1+2\sqrt{7-x}+7-x $$
$$ 8-4x=8-x+2\sqrt{7-x} $$
$$ -3x=2\sqrt{7-x}. $$
Правая часть неотрицательна, значит $$-3x\ge 0$$, то есть $$x\le 0$$.
Снова возведём в квадрат:
$$ 9x^2=4(7-x) $$
$$ 9x^2+4x-28=0. $$
$$ D=4^2+4\cdot 9\cdot 28=1024 $$
$$ x=\frac{-4\pm 32}{18} $$
$$ x_1=-2,\quad x_2=\frac{14}{9}. $$
С учётом условия $$x\le 0$$ подходит только $$x=-2$$.