Упр.11.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) корень из (1+xкорень из (x^2+24))=x+1;
2) корень из (1+xкорень из (x^2-24))=x-1.

1. $$\sqrt{1+x\sqrt{x^2+24}}=x+1$$
   Возведём обе части в квадрат:
   $$1+x\sqrt{x^2+24}=x^2+2x+1$$
   $$x\sqrt{x^2+24}=x^2+2x$$
   $$x\left(\sqrt{x^2+24}-x-2\right)=0$$
   Отсюда:
   $$x=0$$
   или
   $$\sqrt{x^2+24}=x+2$$
   Возведём в квадрат:
   $$x^2+24=x^2+4x+4$$
   $$4x=20$$
   $$x=5$$
   Проверка:
   $$\sqrt{1+0\cdot\sqrt{0^2+24}}=1,\quad 0+1=1$$
   $$\sqrt{1+5\sqrt{5^2+24}}=\sqrt{36}=6,\quad 5+1=6$$
   Оба значения подходят.
2. $$\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x-1$$
   Возведём обе части в квадрат:
   $$1+x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x+1$$
   $$x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x$$
   $$x\left(\sqrt{x^2-24}-x+2\right)=0$$
   Отсюда:
   $$x=0$$
   или
   $$\sqrt{x^2-24}=x-2$$
   Возведём в квадрат:
   $$x^2-24=x^2-4x+4$$
   $$4x=28$$
   $$x=7$$
   Проверка:
   $$\sqrt{1+0\cdot\sqrt{0^2-24}}=1,\quad 0-1=-1$$
   Значение $$x=0$$ не подходит.
   Для $$x=7$$:
   $$\sqrt{1+7\sqrt{7^2-24}}=\sqrt{36}=6,\quad 7-1=6$$
   Значение подходит.

Ответ

1) $$x=0,\ 5$$; 2) $$x=7$$.