Упр.11.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Объясните, почему не имеет корней уравнение:

1. 1) $$\sqrt{x-2}+1=0$$; 3) $$\sqrt{x-4}+\sqrt{1-x}=5$$; 2) $$x^{\frac{1}{6}}+(x-1)^{\frac{1}{8}}=-2$$; 4) $$(x-6)^{\frac{1}{4}}+\sqrt{6-x}=1$$.

Во всех случаях левая часть уравнения не может принять указанное значение.

1. $$\sqrt{x-2}+1=0$$

   Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то

   $$\sqrt{x-2}+1\ge 1.$$

   Следовательно, равенство $$\sqrt{x-2}+1=0$$ невозможно.

2. $$x^{\frac16}+(x-1)^{\frac18}=-2$$

   При допустимых значениях переменной оба слагаемых неотрицательны:

   $$x^{\frac16}\ge 0,\qquad (x-1)^{\frac18}\ge 0.$$

   Значит,

   $$x^{\frac16}+(x-1)^{\frac18}\ge 0,$$

   а число $$-2$$ отрицательно. Поэтому корней нет.

3. $$\sqrt{x-4}+\sqrt{1-x}=5$$

   Для существования выражения должны выполняться условия:

   $$x-4\ge 0,\qquad 1-x\ge 0.$$

   То есть

   $$x\ge 4,\qquad x\le 1.$$

   Таких значений $$x$$ не существует, значит, выражение не определено ни при каком $$x$$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

4. $$\sqrt[4]{x-6}+\sqrt{6-x}=1$$

   Для существования выражения нужно, чтобы

   $$x-6\ge 0,\qquad 6-x\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x=6.$$

   Тогда левая часть равна

   $$\sqrt[4]{6-6}+\sqrt{6-6}=0,$$

   а не $$1$$. Значит, корней нет.

Ответ

Во всех четырёх уравнениях корней нет.