Упр.10.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) ((m^2+n^2)/(m^(3/2)+mn^(1/2))-(m+n)/(m^(1/2)+n^(1/2)))·m/n=n^(1/2)-m^(1/2);
2) ((a^(-1/3) b^(-1/3))/(a^(-1)-b^(-1))-1/(a^(-1/3)-b^(-1/3))):(a^(-2/3)+b^(-2/3))/(a^(-2/3)+a^(-1/3) b^(-1/3)+b^(-2/3))=(a^(1/3) b^(1/3))/(a^(1/3)-b^(1/3)).

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть:

$$ \left(\frac{m^2+n^2}{m^{3/2}+mn^{1/2}}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot \frac{m}{n} $$
$$ =\left(\frac{m^2+n^2}{m(m^{1/2}+n^{1/2})}-\frac{m(m+n)}{m(m^{1/2}+n^{1/2})}\right)\cdot \frac{m}{n} $$
$$ =\frac{m^2+n^2-m^2-mn}{m(m^{1/2}+n^{1/2})}\cdot \frac{m}{n} =\frac{n^2-mn}{m^{1/2}+n^{1/2}}\cdot \frac{1}{n} $$
$$ =\frac{n(n-m)}{n(m^{1/2}+n^{1/2})} =\frac{n-m}{m^{1/2}+n^{1/2}} $$
$$ =\frac{(n^{1/2}-m^{1/2})(n^{1/2}+m^{1/2})}{m^{1/2}+n^{1/2}} =n^{1/2}-m^{1/2}. $$

Тождество доказано.

2) Рассмотрим левую часть:

$$ \left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right):\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}} $$
$$ =\left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right)\cdot \frac{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+b^{-2/3}}. $$

Так как

$$ a^{-1}-b^{-1}=\frac{b-a}{ab}, \qquad a^{-1/3}-b^{-1/3}=\frac{b^{1/3}-a^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}, $$

то после приведения к общему знаменателю получаем

$$ \frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}} = -\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}. $$

Тогда

$$ -\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\cdot \frac{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+b^{-2/3}}. $$

Используем формулу

$$ a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3} =\frac{a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}{a^{2/3}b^{2/3}}, $$

а также разложение

$$ a^{-2/3}+b^{-2/3} =\frac{a^{2/3}+b^{2/3}}{a^{2/3}b^{2/3}}. $$

После сокращения получаем

$$ -\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}} = -\frac{1}{\frac{b^{1/3}-a^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}} = \frac{a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}. $$