Упр.10.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:
а) $$\frac{m-n}{m^{1/3}-n^{1/3}}-\frac{m+n}{m^{1/3}+n^{1/3}}$$;
б) $$(1-a^{1/36})(1+a^{1/36}+a^{1/18})+\frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}}$$;
в) $$(a^{1/4}-b^{1/4}):\left(\frac{b^{5/4}}{a}-\frac{b}{a^{3/4}}\right)$$;
г) $$\frac{m^{5/2}-m^{3/2}}{m^3-m^{5/2}}-\frac{m^{1/2}+m}{m^2+m^{3/2}}$$.

Подробный ответ

1) $$\frac{m-n}{m^{1/3}-n^{1/3}}-\frac{m+n}{m^{1/3}+n^{1/3}}$$

Положим $$x=m^{1/3},\quad y=n^{1/3}.$$ Тогда $$m=x^3,\; n=y^3,$$ и выражение примет вид

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}-\frac{x^3+y^3}{x+y}.$$

Используем формулы сокращённого умножения:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

Тогда

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}-\frac{x^3+y^3}{x+y}=(x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)=2xy.$$

Возвращаясь к переменным $$m$$ и $$n$$, получаем

$$2m^{1/3}n^{1/3}.$$

2) $$(1-a^{1/36})(1+a^{1/36}+a^{1/18})+\frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}}$$

Заметим, что $$a^{1/18}=\left(a^{1/36}\right)^2,\quad a^{1/6}=\left(a^{1/12}\right)^2.$$ Обозначим $$t=a^{1/36}.$$ Тогда $$a^{1/18}=t^2,\; a^{1/12}=t^3,\; a^{1/6}=t^6,$$ и выражение равно

$$(1-t)(1+t+t^2)+\frac{4-t^6}{2-t^3}.$$

Первое произведение:

$$(1-t)(1+t+t^2)=1-t^3.$$

Вторую дробь преобразуем:

$$4-t^6=2^2-(t^3)^2=(2-t^3)(2+t^3).$$

Тогда

$$\frac{4-t^6}{2-t^3}=2+t^3.$$

Следовательно,

$$1-t^3+2+t^3=3.$$

3) $$(a^{1/4}-b^{1/4}):\left(\frac{b^{5/4}}{a}-\frac{b}{a^{3/4}}\right)$$

Преобразуем знаменатель:

$$\frac{b^{5/4}}{a}-\frac{b}{a^{3/4}}=\frac{b^{5/4}a^{3/4}-ab}{a\cdot a^{3/4}}=\frac{ab\left(b^{1/4}-a^{1/4}\right)}{a\cdot a^{3/4}}.$$

Тогда

$$\frac{a^{1/4}-b^{1/4}}{\frac{ab\left(b^{1/4}-a^{1/4}\right)}{a\cdot a^{3/4}}} =(a^{1/4}-b^{1/4})\cdot \frac{a\cdot a^{3/4}}{ab\left(b^{1/4}-a^{1/4}\right)}.$$

Так как $$b^{1/4}-a^{1/4}=-(a^{1/4}-b^{1/4}),$$ получаем

$$-\frac{a}{b}.$$

4) $$\frac{m^{5/2}-m^{3/2}}{m^3-m^{5/2}}-\frac{m^{1/2}+m}{m^2+m^{3/2}}$$

Вынесем общие множители:

$$\frac{m^{3/2}(m-1)}{m^{5/2}(m^{1/2}-1)}-\frac{m^{1/2}(1+m^{1/2})}{m^{3/2}(m^{1/2}+1)}.$$

Сократим:

$$\frac{m-1}{m(m^{1/2}-1)}-\frac{1}{m}.$$

Так как $$m-1=(m^{1/2}-1)(m^{1/2}+1),$$ то

$$\frac{m^{1/2}+1}{m}-\frac{1}{m}=\frac{m^{1/2}}{m}=m^{-1/2}.$$