Упр.10.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (m-n)/(m^(1/3)-n^(1/3))-(m+n)/(m^(1/3)+n^(1/3));
2) (1-a^(1/36))(1+a^(1/36)+a^(1/18))+(4-a^(1/6))/(2-a^(1/12));
3) (a^(1/4)-b^(1/4)):(b^(5/4)/a-b/a^(3/4));
4) (m^(5/2)-m^(3/2))/(m^3-m^(5/2))-(m^(1/2)+m)/(m^2+m^(3/2)).

Подробный ответ

$$\frac{m-n}{m^{1/3}-n^{1/3}}-\frac{m+n}{m^{1/3}+n^{1/3}}$$
Представим разность и сумму кубов:
$$m-n=(m^{1/3}-n^{1/3})(m^{2/3}+m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}),$$
$$m+n=(m^{1/3}+n^{1/3})(m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}).$$
Тогда
$$ \frac{m-n}{m^{1/3}-n^{1/3}}-\frac{m+n}{m^{1/3}+n^{1/3}} = \left(m^{2/3}+m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}\right) — \left(m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}\right) $$
$$=2m^{1/3}n^{1/3}.$$
$$ (1-a^{1/36})(1+a^{1/36}+a^{1/18})+\frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}} $$
Заметим, что
$$a^{1/18}=\left(a^{1/36}\right)^2,\qquad a^{1/6}=\left(a^{1/12}\right)^2.$$
Тогда
$$ (1-a^{1/36})(1+a^{1/36}+a^{1/18})=1-a^{1/12}, $$
а
$$ \frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}} = \frac{(2-a^{1/12})(2+a^{1/12})}{2-a^{1/12}} = 2+a^{1/12}. $$
Следовательно,
$$ 1-a^{1/12}+2+a^{1/12}=3. $$
$$ \left(a^{1/4}-b^{1/4}\right):\left(\frac{b^{5/4}}{a}-\frac{b}{a^{3/4}}\right) $$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$$ \frac{b^{5/4}}{a}-\frac{b}{a^{3/4}} = \frac{b^{5/4}a^{3/4}-ab}{a\cdot a^{3/4}} = \frac{ab\left(b^{1/4}-a^{1/4}\right)}{a\cdot a^{3/4}}. $$
Тогда
$$ \left(a^{1/4}-b^{1/4}\right): \frac{ab\left(b^{1/4}-a^{1/4}\right)}{a\cdot a^{3/4}} = -\left(b^{1/4}-a^{1/4}\right): \frac{ab\left(b^{1/4}-a^{1/4}\right)}{a\cdot a^{3/4}}. $$
Сокращая на $b^{1/4}-a^{1/4}$, получаем
$$ -\frac{a\cdot a^{3/4}}{ab}=-\frac{a}{b}. $$
$$ \frac{m^{5/2}-m^{3/2}}{m^3-m^{5/2}}-\frac{m^{1/2}+m}{m^2+m^{3/2}} $$
Вынесем общие множители:
$$ \frac{m^{3/2}(m-1)}{m^{5/2}(m^{1/2}-1)}-\frac{m^{1/2}(1+m^{1/2})}{m^{3/2}(m^{1/2}+1)}. $$
Сокращаем:
$$ \frac{m-1}{m(m^{1/2}-1)}-\frac{1}{m}. $$
Так как
$$m-1=(m^{1/2}-1)(m^{1/2}+1),$$
то
$$ \frac{m^{1/2}+1}{m}-\frac{1}{m}=\frac{m^{1/2}}{m}=m^{-1/2}. $$