Упр.10.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:

1) $$\frac{a-b}{a^{0,5}-b^{0,5}}-\frac{a^{1,5}-b^{1,5}}{a-b}$$;

2) $$\frac{a^{0,5}-b^{0,5}}{a^{0,5}+b^{0,5}}+\frac{a^{0,5}+b^{0,5}}{a^{0,5}-b^{0,5}}$$;

3) $$\frac{a^{1/2}+2a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}{a^{7/6}b^{5/6}-a^{5/6}b^{7/6}}\cdot\frac{a-a^{1/3}b^{2/3}}{a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}$$;

4) $$\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{(a^2-ab)^{2/3}}:\frac{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}}{a^{3/2}-b^{3/2}}$$.

Подробный ответ

1) $$\frac{a-b}{a^{0,5}-b^{0,5}}-\frac{a^{1,5}-b^{1,5}}{a-b}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(a-b)(a^{0,5}+b^{0,5})-(a^{1,5}-b^{1,5})}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})}$$

$$=\frac{a^{1,5}+ab^{0,5}-ba^{0,5}-b^{1,5}-a^{1,5}+b^{1,5}}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})}$$

$$=\frac{ab^{0,5}-ba^{0,5}}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})} =\frac{a^{0,5}b^{0,5}(a^{0,5}-b^{0,5})}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})} =\frac{a^{0,5}b^{0,5}}{a^{0,5}+b^{0,5}}.$$

2) $$\frac{a^{0,5}-b^{0,5}}{a^{0,5}+b^{0,5}}+\frac{a^{0,5}+b^{0,5}}{a^{0,5}-b^{0,5}}$$

$$\frac{(a^{0,5}-b^{0,5})^2+(a^{0,5}+b^{0,5})^2}{(a^{0,5}+b^{0,5})(a^{0,5}-b^{0,5})}$$

$$=\frac{a-2a^{0,5}b^{0,5}+b+a+2a^{0,5}b^{0,5}+b}{a-b} =\frac{2a+2b}{a-b} =\frac{2(a+b)}{a-b}.$$

3) $$\frac{a^{1/2}+2a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}{a^{7/6}b^{5/6}-a^{5/6}b^{7/6}}\cdot\frac{a-a^{1/3}b^{2/3}}{a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}$$

Представим выражения в виде произведений:

$$a^{1/2}+2a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}=(a^{1/4}+b^{1/4})^2,$$

$$a^{7/6}b^{5/6}-a^{5/6}b^{7/6}=a^{5/6}b^{5/6}(a^{1/3}-b^{1/3}),$$

$$a-a^{1/3}b^{2/3}=a^{1/3}(a^{2/3}-b^{2/3})=a^{1/3}(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3}),$$

$$a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}=b^{1/4}(a^{1/4}+b^{1/4}).$$

Тогда

$$\frac{(a^{1/4}+b^{1/4})^2}{a^{5/6}b^{5/6}(a^{1/3}-b^{1/3})}\cdot \frac{a^{1/3}(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3})}{b^{1/4}(a^{1/4}+b^{1/4})}$$

$$=\frac{(a^{1/4}+b^{1/4})(a^{1/3}+b^{1/3})}{a^{5/6-1/3}b^{5/6+1/4}} =\frac{(a^{1/4}+b^{1/4})(a^{1/3}+b^{1/3})}{a^{1/2}b^{13/12}}.$$

4) $$\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{(a^2-ab)^{2/3}}:\frac{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}}{a^{3/2}-b^{3/2}}$$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{(a^2-ab)^{2/3}}\cdot\frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}}$$

Так как $$a^2-ab=a(a-b),$$ то

$$(a^2-ab)^{2/3}=a^{2/3}(a-b)^{2/3}.$$

Кроме того,

$$a^{3/2}+b^{3/2}=(a^{1/2}+b^{1/2})(a-b)\quad \text{и} \quad a^{3/2}-b^{3/2}=(a-b)(a^2+ab+b^2)^{1/2}$$

и после сокращения получаем

$$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^{3/3}}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}=a^2+ab+b^2.$$

Ответ

1) $$\frac{a^{0,5}b^{0,5}}{a^{0,5}+b^{0,5}}$$; 2) $$\frac{2(a+b)}{a-b}$$; 3) $$\frac{(a^{1/4}+b^{1/4})(a^{1/3}+b^{1/3})}{a^{1/2}b^{13/12}}$$; 4) $$a^2+ab+b^2$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

3.7 / 5

Другие учебники