Упр.1.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) [1;2]max(-x^2+6x); 2) [1;4]min(-x^2+6x); 3) [4;5]max(-x^2+6x).

Рассмотрим функцию $$f(x)=-x^2+6x.$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине, а наименьшее — на концах отрезка или в вершине, если она принадлежит отрезку.

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3.$$

Тогда

$$f(1)=-1^2+6\cdot1=5,$$

$$f(2)=-2^2+6\cdot2=8,$$

$$f(3)=-3^2+6\cdot3=9,$$

$$f(4)=-4^2+6\cdot4=8,$$

$$f(5)=-5^2+6\cdot5=5.$$

1. На отрезке $$[1;2]$$ вершина не принадлежит отрезку, а функция возрастает, поэтому максимум достигается в правом конце:

   $$\max_{[1;2]}(-x^2+6x)=f(2)=8.$$

2. На отрезке $$[1;4]$$ вершина $$x=3$$ принадлежит отрезку, значит минимум достигается на концах отрезка:

   $$f(1)=5,\quad f(4)=8.$$

   Следовательно,

   $$\min_{[1;4]}(-x^2+6x)=5.$$

3. На отрезке $$[4;5]$$ функция убывает, поэтому максимум достигается в левом конце:

   $$\max_{[4;5]}(-x^2+6x)=f(4)=8.$$

Ответ

1) $$8$$; 2) $$5$$; 3) $$8$$.