Упр.1.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите: 1) $$\underset{[1;2]}{\max}(-x^2+6x)$$; 2) $$\underset{[1;4]}{\min}(-x^2+6x)$$; 3) $$\underset{[4;5]}{\max}(-x^2+6x)$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=-x^2+6x.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3.$$

1)

На отрезке $$[1;2]$$ вершина не принадлежит промежутку, а функция возрастает, значит наибольшее значение достигается в правом конце отрезка:

$$f(2)=-2^2+6\cdot2=-4+12=8.$$

Ответ: $$8$$.

2)

На отрезке $$[1;4]$$ вершина $$x_0=3$$ принадлежит промежутку, а для параболы с ветвями вниз в вершине достигается минимум на данном отрезке? Нет, здесь в вершине достигается максимум, поэтому минимум ищем на концах отрезка:

$$f(1)=-1^2+6\cdot1=-1+6=5,$$

$$f(4)=-4^2+6\cdot4=-16+24=8.$$

Следовательно,

$$\min_{[1;4]}(-x^2+6x)=5.$$

Ответ: $$5$$.

3)

На отрезке $$[4;5]$$ функция убывает, значит наибольшее значение достигается в левом конце отрезка:

$$f(4)=-4^2+6\cdot4=-16+24=8.$$

Ответ: $$8$$.