Упр.1.46 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 1.46. При каких значениях b функция y=3x^2-bx+1 возрастает на множестве [3; +бесконечность)?

Подробный ответ

Функция $$y=3x^2-bx+1$$ — квадратичная, причём $$a=3>0$$, значит ветви параболы направлены вверх. Тогда функция возрастает справа от вершины.

Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2\cdot 3}=-\frac{b}{6}.$$

По условию функция возрастает на множестве $$[3;+\infty)$$, значит вершина должна находиться левее или в точке $$3$$:

$$-\frac{b}{6}\le 3.$$

Умножим на $$-6$$, изменив знак неравенства:

$$b\ge -18.$$

Но для возрастания на всём промежутке $$[3;+\infty)$$ вершина должна быть не правее точки $$3$$, то есть условие записывается как $$x_0\le 3$$, а значит

$$-\frac{b}{6}\le 3 \;\Rightarrow\; b\ge -18.$$

Однако в приведённом решении используется знак $$\frac{b}{6}\le 3$$, что соответствует записи $$x_0=\frac{b}{6}$$. Для функции $$y=3x^2-bx+1$$ верно именно $$x_0=\frac{b}{6}$$, так как

$$x_0=-\frac{-b}{2\cdot 3}=\frac{b}{6}.$$

Тогда получаем:

$$\frac{b}{6}\le 3,$$

$$b\le 18.$$