Упр.1.44 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции $$f(x)=\begin{cases}x^2+2x, & \text{если } x\le 0,\\x^2-2x, & \text{если } x>0.\end{cases}$$ Пользуясь построенным графиком, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Рассмотрим функцию по частям:

$$f(x)= \begin{cases} x^2+2x, & x\le 0,\\ x^2-2x, & x>0. \end{cases}$$

Для ветви $$y=x^2+2x$$ имеем:

$$x^2+2x=x(x+2),$$

поэтому нули этой части: $$x=-2$$ и $$x=0$$. Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1,\qquad y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)=-1.$$

Для ветви $$y=x^2-2x$$ имеем:

$$x^2-2x=x(x-2),$$

поэтому нули этой части: $$x=0$$ и $$x=2$$. Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}=1,\qquad y_0=1^2-2\cdot1=-1.$$

Следовательно, график функции состоит из двух частей парабол, соединённых в точке $$\left(0,0\right)$$.

Ответ

Нули функции: $$x=-2,\;0,\;2.$$

$$f(x)>0 \text{ при } (-\infty;-2)\cup(2;+\infty),$$

$$f(x)<0 \text{ при } (-2;0)\cup(0;2).$$

Функция возрастает на промежутках $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty).$$

Функция убывает на промежутках $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1].$$