Упр.1.44 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

f(x)=(x^2+2x), если x меньше равно 0),(x^2-2x, если x > 0).
Пользуясь построенным графиком, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} x^2+2x, & x\le 0,\\ x^2-2x, & x>0. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x\le 0$$ имеем параболу $$y=x^2+2x=(x+1)^2-1$$ с вершиной $$(-1;\,-1)$$. Нули этой ветви:

$$ x^2+2x=x(x+2)=0 \Rightarrow x=-2,\; x=0. $$

2) При $$x>0$$ имеем параболу $$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$$ с вершиной $$ (1;\,-1) $$. Нули этой ветви:

$$ x^2-2x=x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2. $$

Так как вторая ветвь задана только при $$x>0$$, точка $$x=0$$ относится к первой части графика.

По графику получаем:

• нули функции: $$x=-2,\; 0,\; 2$$;
• $$f(x)>0$$ при $$(-\infty;\,-2)\cup(2;\,+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ при $$(-2;\,0)\cup(0;\,2)$$;
• функция убывает на $$(-\infty;\,-1]\cup[0;\,1]$$;
• функция возрастает на $$[-1;\,0]\cup[1;\,+\infty)$$.

Ответ

Нули функции: $$-2,\;0,\;2$$.
$$f(x)>0$$ при $$(-\infty;\,-2)\cup(2;\,+\infty)$$.
$$f(x)<0$$ при $$(-2;\,0)\cup(0;\,2)$$.
Возрастает на $$[-1;\,0]\cup[1;\,+\infty)$$.
Убывает на $$(-\infty;\,-1]\cup[0;\,1]$$.