Упр.1.41 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите промежутки знакопостоянства функции: 1) $$y=-7x+3$$; 3) $$y=\frac{6}{4-x}$$; 5) $$y=3x^2-7x+4$$; 2) $$y=x^2-8x+16$$; 4) $$y=-x^2-1$$; 6) $$y=-2x^2+3x-1$$.

1) $$y=-7x+3$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ функция положительна и отрицательна:

$$-7x+3>0$$

$$-7x>-3$$

$$x<\frac{3}{7}$$

Значит,

$$y>0 \text{ при } \left(-\infty;\frac{3}{7}\right),$$

$$y<0 \text{ при } \left(\frac{3}{7};+\infty\right).$$

2) $$y=x^2-8x+16$$

$$x^2-8x+16=(x-4)^2$$

Квадрат неотрицателен, поэтому

$$y>0 \text{ при } (-\infty;4)\cup(4;+\infty),$$

$$y=0 \text{ при } x=4.$$

3) $$y=\frac{6}{4-x}$$

Числитель положителен, поэтому знак функции определяется знаменателем:

$$\frac{6}{4-x}>0 \iff 4-x>0 \iff x<4$$

Следовательно,

$$y>0 \text{ при } (-\infty;4),$$

$$y<0 \text{ при } (4;+\infty).$$

4) $$y=-x^2-1$$

Так как $$x^2\ge 0$$, то $$-x^2\le 0$$, значит

$$-x^2-1<0$$

при любых $$x$$.

Следовательно,

$$y<0 \text{ при } (-\infty;+\infty).$$

5) $$y=3x^2-7x+4$$

Разложим на множители:

$$3x^2-7x+4=(3x-4)(x-1)$$

Нули функции: $$x=1$$ и $$x=\frac{4}{3}$$. Так как старший коэффициент положителен, то

$$y>0 \text{ при } (-\infty;1)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right),$$

$$y<0 \text{ при } \left(1;\frac{4}{3}\right).$$

6) $$y=-2x^2+3x-1$$

Решим неравенство:

$$-2x^2+3x-1>0$$

$$2x^2-3x+1<0$$

$$D=9-8=1$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm1}{4}$$

$$x_1=\frac12,\quad x_2=1$$

Тогда

$$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$$

и

$$(2x-1)(x-1)<0 \iff \frac12<x<1.$$

Значит,

$$y>0 \text{ при } \left(\frac12;1\right),$$

$$y<0 \text{ при } \left(-\infty;\frac12\right)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$y>0$$ при $$\left(-\infty;\frac{3}{7}\right)$$, $$y<0$$ при $$\left(\frac{3}{7};+\infty\right)$$;

2) $$y>0$$ при $$(-\infty;4)\cup(4;+\infty)$$, $$y=0$$ при $$x=4$$;

3) $$y>0$$ при $$(-\infty;4)$$, $$y<0$$ при $$(4;+\infty)$$;

4) $$y<0$$ при $$(-\infty;+\infty)$$;

5) $$y>0$$ при $$(-\infty;1)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right)$$, $$y<0$$ при $$\left(1;\frac{4}{3}\right)$$;

6) $$y>0$$ при $$\left(\frac12;1\right)$$, $$y<0$$ при $$\left(-\infty;\frac12\right)\cup(1;+\infty)$$.