Упр.1.41 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=-7x+3; 3) y=6/(4-x); 5) y=3x^2-7x+4;
2) y=x^2-8x+16; 4) y=-x^2-1; 6) y=-2x^2+3x-1.

1. $$y=-7x+3$$

   Найдём, при каких значениях $$x$$ функция положительна:

   $$-7x+3>0$$

   $$-7x>-3$$

   $$x<\frac{3}{7}$$

   Значит,

   $$y>0 \text{ при } \left(-\infty;\frac{3}{7}\right), \qquad y<0 \text{ при } \left(\frac{3}{7};+\infty\right).$$

2. $$y=x^2-8x+16$$

   $$x^2-8x+16=(x-4)^2$$

   Квадрат неотрицателен, поэтому

   $$y>0 \text{ при } x\ne 4,$$

   а при $$x=4$$ имеем $$y=0$$.

   Следовательно,

   $$y>0 \text{ при } (-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$

3. $$y=\frac{6}{4-x}$$

   Числитель положителен, значит знак функции определяется знаменателем.

   $$\frac{6}{4-x}>0 \iff 4-x>0 \iff x<4$$

   Тогда

   $$y>0 \text{ при } (-\infty;4), \qquad y<0 \text{ при } (4;+\infty).$$

4. $$y=-x^2-1$$

   Для любого $$x$$

   $$-x^2-1<0,$$

   так как $$x^2\ge 0$$.

   Следовательно,

   $$y<0 \text{ при } (-\infty;+\infty).$$

5. $$y=3x^2-7x+4$$

   Решим уравнение $$3x^2-7x+4=0$$:

   $$D=(-7)^2-4\cdot 3\cdot 4=49-48=1$$

   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{6}$$

   $$x_1=1,\qquad x_2=\frac{4}{3}$$

   Тогда

   $$3x^2-7x+4=(3x-4)(x-1)$$

   Так как старший коэффициент положителен, то

   $$y>0 \text{ при } (-\infty;1)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right),$$

   $$y<0 \text{ при } \left(1;\frac{4}{3}\right).$$

6. $$y=-2x^2+3x-1$$

   Найдём нули функции:

   $$-2x^2+3x-1=0$$

   $$2x^2-3x+1=0$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$

   $$x_1=\frac12,\qquad x_2=1$$

   Тогда

   $$-2x^2+3x-1=-(2x-1)(x-1)$$

   Поскольку старший коэффициент отрицателен, то

   $$y>0 \text{ при } \left(\frac12;1\right),$$

   $$y<0 \text{ при } \left(-\infty;\frac12\right)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$y>0$$ при $$\left(-\infty;\frac{3}{7}\right)$$, $$y<0$$ при $$\left(\frac{3}{7};+\infty\right)$$;

2) $$y>0$$ при $$(-\infty;4)\cup(4;+\infty)$$;

3) $$y>0$$ при $$(-\infty;4)$$, $$y<0$$ при $$\left(4;+\infty\right)$$;

4) $$y<0$$ при $$(-\infty;+\infty)$$;

5) $$y>0$$ при $$(-\infty;1)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right)$$, $$y<0$$ при $$\left(1;\frac{4}{3}\right)$$;

6) $$y>0$$ при $$\left(\frac12;1\right)$$, $$y<0$$ при $$\left(-\infty;\frac12\right)\cup(1;+\infty)$$.