Упр.1.39 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите область определения функции:

1) $$f(x)=\frac{9}{x+4}$$;
6) $$f(x)=\frac{1}{x^2-5x}$$;
2) $$f(x)=\frac{x-6}{4}$$;
7) $$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$;
3) $$f(x)=\sqrt{x-7}$$;
8) $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{12+4x-x^2}}$$;
4) $$f(x)=\frac{10}{\sqrt{-x-1}}$$;
9) $$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x-1}}$$;
5) $$f(x)=\sqrt{x^2+6x-7}$$;
10) $$f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{-x}$$.

1) Для дроби знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$x+4\ne 0,\quad x\ne -4.$$

Значит,

$$D(f)=(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty).$$

2) Знаменатель постоянный и не равен нулю, поэтому

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

3) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x-7\ge 0,\quad x\ge 7.$$

Следовательно,

$$D(f)=[7;+\infty).$$

4) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$$-x-1>0,\quad x<-1.$$

Значит,

$$D(f)=(-\infty;-1).$$

5) Требуется, чтобы

$$x^2+6x-7\ge 0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2+6x-7=0$$:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2},\quad x_1=-7,\; x_2=1.$$

Тогда

$$x^2+6x-7=(x+7)(x-1)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -7 \text{ или } x\ge 1.$$

Следовательно,

$$D(f)=(-\infty;-7]\cup[1;+\infty).$$

6) Знаменатель не должен равняться нулю:

$$x^2-5x\ne 0,$$

$$x(x-5)\ne 0,$$

$$x\ne 0,\quad x\ne 5.$$

Значит,

$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;5)\cup(5;+\infty).$$

7) Для корней нужно:

$$x\ge 0,$$

$$1-x\ge 0,\quad x\le 1.$$

Пересечение условий:

$$D(f)=[0;1].$$

8) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$$12+4x-x^2>0.$$

Преобразуем:

$$x^2-4x-12<0,$$

$$x^2-4x-12=(x-6)(x+2).$$

Тогда

$$-2<x<6.$$

Следовательно,

$$D(f)=(-2;6).$$

9) Для корня и знаменателя нужно одновременно:

$$x-1\ge 0,\quad x-1\ne 0.$$

То есть

$$x\ge 1,\quad x\ne 1,$$

откуда

$$D(f)=(1;+\infty).$$

10) Должны выполняться условия:

$$x\ge 0,$$

$$-x\ge 0,\quad x\le 0.$$

Пересечение этих условий:

$$x=0.$$

Значит,

Ответ: $$D(f)=\{0\}.$$