Упр.1.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Нечётная функция $$f$$, определённая на множестве $$\mathbb{R}$$, возрастает на промежутке $$[0;+\infty)$$. Определите, возрастает или убывает функция $$f$$ на промежутке $$(-\infty;0]$$.

Пусть $$x_1<x_2$$ и $$x_1,x_2\in(-\infty;0].$$ Тогда числа $$-x_1$$ и $$-x_2$$ принадлежат промежутку $$[0;+\infty)$$, причём $$-x_1>-x_2.$$

Так как функция $$f$$ возрастает на $$[0;+\infty)$$, то

$$f(-x_1)>f(-x_2).$$

Поскольку функция нечётная, имеем

$$f(-x_1)=-f(x_1), \qquad f(-x_2)=-f(x_2).$$

Тогда

$$-f(x_1)>-f(x_2),$$

откуда

$$f(x_1)<f(x_2).$$

Значит, на промежутке $$(-\infty;0]$$ функция $$f$$ тоже возрастает.

Ответ

возрастает.