Упр.1.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Областью определения нечётных функций $$f$$ и $$g$$ является множество $$M$$. Исследуйте на чётность функцию:
   1) $$y=f(x)+g(x)$$;
   2) $$y=f(x)-g(x)$$;
   3) $$y=f(x)\cdot g(x)$$.

Так как функции $$f$$ и $$g$$ нечётные, то

$$f(-x)=-f(x), \quad g(-x)=-g(x).$$

Область определения функции $$y$$ симметрична относительно нуля, так как она совпадает с множеством $$M$$.

1) $$y=f(x)+g(x)$$

$$y(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

2) $$y=f(x)-g(x)$$

$$y(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)+g(x)=-(f(x)-g(x))=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

3) $$y=f(x)\cdot g(x)$$

$$y(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=(-f(x))\cdot(-g(x))=f(x)g(x)=y(x).$$

Следовательно, функция чётная.

Ответ: 1) нечётная; 2) нечётная; 3) чётная.