Упр.1.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Область определения функции $$f$$ симметрична относительно начала координат. Докажите, что функция $$g(x)=f(x)+f(-x)$$ чётная, а функция $$h(x)=f(x)-f(-x)$$ нечётная.

Так как область определения функции $$f$$ симметрична относительно начала координат, то из $$x$$ из области определения следует, что и $$-x$$ тоже принадлежит области определения.

Докажем, что функция $$g(x)=f(x)+f(-x)$$ чётная:

$$g(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=g(x).$$

Следовательно, $$g(x)$$ — чётная функция.

Докажем, что функция $$h(x)=f(x)-f(-x)$$ нечётная:

$$h(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-\bigl(f(x)-f(-x)\bigr)=-h(x).$$

Следовательно, $$h(x)$$ — нечётная функция.

Ответ

$$g(x)=f(x)+f(-x)$$ — чётная, $$h(x)=f(x)-f(-x)$$ — нечётная.